Бесплатные рефераты


В мире
Календарь новостей
« Авг.2018
Пн.Вт.Ср.Чт.Пт.Сб.Вс.
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  
ВНИМАНИЕ!!!
УВАЖАЕМЫЕ ПОЛЬЗОВАТЕЛИ!!!
Сайт поменял владельца и на нём грядут большие перемены.
Убедительная просьба не пользоваться покупкой рефератов через смс.
ДАННЫЙ СЕРВИС БОЛЬШЕ НЕ РАБОТАЕТ
Стоит вопрос об его удалении, дабы сделать рефераты бесплатными. Извините за неудобство и спасибо за понимание
Поиск реферата

Реферат, курсовая, контрольная, доклад на тему: Абстрактная теория групп

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.
Абстрактная теория групп I.Понятие абстрактной группы 1.Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (* ), если каждой упорядоченной паре элементов Абстрактная теория групп поставлен в соответствие некоторый элемент Абстрактная теория групп называемый их произведением.

Примеры.

Композиция перемещений на множествах Абстрактная теория групп является алгебраической операцией. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве Абстрактная теория групп всех подстановок степени n. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах Z,R,C соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное Абстрактная теория групп не определено при Абстрактная теория групп. Однако на множествах Абстрактная теория групп, Абстрактная теория группэто будет алгебраическая операция. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве Абстрактная теория групп. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве Абстрактная теория групп. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка. 2.Свойства алгебраических операций. 1. Операция (*) называется ассоциативной, если Абстрактная теория групп.

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп. В частности можно определить степени с натуральным показателем: Абстрактная теория групп. При этом имеют место обычные законы: Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп.

2. Операция (*) называется коммутативной, если Абстрактная теория групп

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции Абстрактная теория групп

3. Элемент Абстрактная теория групп называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если Абстрактная теория групп. В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если Абстрактная теория групп - нейтральные элементы, то Абстрактная теория групп. Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: Абстрактная теория групп.

4. Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент Абстрактная теория групп называется обратным для элемента Абстрактная теория групп, если Абстрактная теория групп. Отметим, что по определению Абстрактная теория групп. Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: Абстрактная теория групп. Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент Абстрактная теория групп также обратим и Абстрактная теория групп . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если

Операция (*) ассоциативна на G. Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы). Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

Любая группа преобразований. (Z, +), (R, +), (C, +). Абстрактная теория групп Матричные группы: Абстрактная теория групп- невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1. 3. Простейшие свойства групп. В любой группе выполняется закон сокращения: Абстрактная теория групп(левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на Абстрактная теория групп и воспользуемся свойством ассоциативности: Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп. Признак нейтрального элемента: Абстрактная теория групп

Доказательство Применим к равенству Абстрактная теория групп закон сокращения.

Признак обратного элемента: Абстрактная теория групп Доказательство Применим закон сокращения к равенству Абстрактная теория групп. Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3. Существование обратной операции. Для любых двух элементов Абстрактная теория групппроизвольной группы G уравнение Абстрактная теория групп имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что Абстрактная теория групп(левое частное элементов Абстрактная теория групп) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству Абстрактная теория групп. Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного. 4. Изоморфизм групп.

Определение.

Отображение Абстрактная теория групп двух групп G и K называется изоморфизмом , если

1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию: Абстрактная теория групп.

Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.

Примеры.

1.Группы поворотов плоскости Абстрактная теория групп и Абстрактная теория группвокруг точек Абстрактная теория групп и Абстрактная теория группизоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра Абстрактная теория групп и соответствующая пространственная группа Абстрактная теория групп изоморфны.

Группа тетраэдра T изоморфна группе Абстрактная теория групп состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными. Формула Абстрактная теория группопределяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством Абстрактная теория групп положительных чисел. При этом Абстрактная теория групп. Это означает, что Абстрактная теория групп является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

5. Понятие подгруппы.

Непустое подмножество Абстрактная теория групп называется подгруппой, если Абстрактная теория группсамо является группой. Более подробно это означает, что Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп.

Признак подгруппы.

Непустое подмножество Абстрактная теория групп будет подгруппой тогда и только тогда, когда Абстрактная теория групп.

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь Абстрактная теория групп- любой элемент. Возьмем Абстрактная теория групп в признаке подгруппы. Тогда получим Абстрактная теория групп. Теперь возьмем Абстрактная теория групп. Тогда получим Абстрактная теория групп.

Примеры подгрупп.

Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой. Абстрактная теория групп- подгруппа четных подстановок. Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп и т.д. Пусть G - любая группа и Абстрактная теория групп - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество Абстрактная теория группвсевозможных степеней этого элемента. Поскольку Абстрактная теория групп, рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g . Пусть Абстрактная теория групп любая подгруппа Рассмотрим множество Абстрактная теория групп- централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если Абстрактная теория групп, то Абстрактная теория групп, то есть Абстрактная теория групп. Теперь ясно, что если Абстрактная теория групп, то и Абстрактная теория групп и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то Абстрактная теория групп . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть Абстрактная теория групп некоторая подгруппа.

А) Для каждого Абстрактная теория групп определим отображение Абстрактная теория групп(левый сдвиг на элемент h) формулой Абстрактная теория групп.

Теорема 1

Абстрактная теория групп Множество L(H,G)= Абстрактная теория группявляется группой преобразований множества G. Соответствие: Абстрактная теория групп является изоморфизмом групп H и L(H,G).

Доказательство.

Надо проверить, что отображение Абстрактная теория групп взаимно однозначно для всякого Абстрактная теория групп. Если Абстрактная теория групп, то Абстрактная теория групп по закону сокращения. Значит Абстрактная теория групп инъективно. Если Абстрактная теория групплюбой элемент, то Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп так что Абстрактная теория групп к тому же и сюръективно. Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений Абстрактная теория групп. Надо проверить, что Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп. Пусть Абстрактная теория групп любой элемент. Имеем: Абстрактная теория группАбстрактная теория группАбстрактная теория группАбстрактная теория группАбстрактная теория групп; Абстрактная теория групп и значит, Абстрактная теория групп. Пусть Абстрактная теория групп. Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: Абстрактная теория групп. Сохранение операции фактически уже было установлено выше: Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп.

Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы Абстрактная теория группподстановок степени n.

Для каждого Абстрактная теория групп определим отображение Абстрактная теория групп(правый сдвиг на элемент h) формулой Абстрактная теория групп .

Теорема B.

Абстрактная теория групп. Множество Абстрактная теория групп является группой преобразований множества G. Соответствие Абстрактная теория группявляется изоморфизмом групп H и R(H,G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что Абстрактная теория групп. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не Абстрактная теория групп, а Абстрактная теория групп.

С) Для каждого Абстрактная теория групп определим Абстрактная теория групп(сопряжение или трансформация элементом h ) формулой Абстрактная теория групп.

Теорема С.

Каждое отображение Абстрактная теория групп является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G). Множество Абстрактная теория групп является группой преобразований множества G. Отображение Абстрактная теория групп сюръективно и сохраняет операцию.

Доказательство.

Поскольку Абстрактная теория групп, отображение Абстрактная теория групп взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: Абстрактная теория групп и потому Абстрактная теория групп сохраняет операцию. Надо проверить, что Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп. Оба равенства проверяются без труда. Сюръективность отображения Абстрактная теория групп имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения q .

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования Абстрактная теория групп будут тождественными и группа Абстрактная теория групптривиальна. Равенство Абстрактная теория группозначает, что Абстрактная теория групп или Абстрактная теория групп (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество Абстрактная теория групп называется централизатором подгруппы Абстрактная теория групп. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что Абстрактная теория групп. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

7. Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, Абстрактная теория групп некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита Абстрактная теория групп называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам Абстрактная теория групп.Заметим, что Абстрактная теория групп стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов Абстрактная теория групп, что hg=gАбстрактная теория групп. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного Абстрактная теория групп.

Орбиты группы Абстрактная теория групп называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Абстрактная теория групп Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно Абстрактная теория групп, где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть Абстрактная теория групп- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: Абстрактная теория групп=(1,2,3); Абстрактная теория групп=(1,3,2); Абстрактная теория групп=(2,1,3); Абстрактная теория групп=(2,3,1); Абстрактная теория групп=(3,1,2); Абстрактная теория групп=(3,2,1). Пусть Абстрактная теория групп. Легко проверить, что левые смежные классы суть:

Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп.

Правые смежные классы:

Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп.

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп.

В то же время,

Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп.

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: Абстрактная теория групп. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, Абстрактная теория групп, откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы Абстрактная теория групп.

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если Абстрактная теория групп эти подгруппы, то Абстрактная теория групп их общая подгруппа и по теореме Лагранжа Абстрактная теория групп - общий делитель порядков H и K то есть 1.

8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть Абстрактная теория групплюбая подгруппа и Абстрактная теория групп-любой элемент. Тогда Абстрактная теория групптакже является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения Абстрактная теория групп является изоморфизмом. Подгруппа Абстрактная теория групп называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: Абстрактная теория групп.

Равенство Абстрактная теория группможно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа Абстрактная теория групп и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой. В рассмотренной выше группе Абстрактная теория групп подгруппа Абстрактная теория группне является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп. Если Абстрактная теория групп- любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z Абстрактная теория групп. В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть Абстрактная теория групп.

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H HH=H.Но тогда

Абстрактная теория групп

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс Абстрактная теория групп. Поскольку Абстрактная теория групп, всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

9 Гомоморфизм.

Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.

Определение.

Отображение групп Абстрактная теория группназывается гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть Абстрактная теория групп: Абстрактная теория групп.

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

Примеры.

Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом. Тривиальное отображение Абстрактная теория групп является гомоморфизмом. Если Абстрактная теория групп- любая подгруппа, то отображение вложения Абстрактная теория групп будет инъективным гомоморфизмом. Пусть Абстрактная теория групп- нормальная подгруппа. Отображение Абстрактная теория групп группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку Абстрактная теория групп. Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения Абстрактная теория групп сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом. Отображение Абстрактная теория групп, которое каждому перемещению Абстрактная теория групп n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор Абстрактная теория групп(см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции Абстрактная теория групп.

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть Абстрактная теория групп- гомоморфизм групп, Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп- подгруппы. Тогда:

Абстрактная теория групп, Абстрактная теория групп. Абстрактная теория групп- подгруппа. Абстрактная теория групп-подгруппа, причем нормальная, если таковой была Абстрактная теория групп.

Доказательство.

Абстрактная теория групп и по признаку нейтрального элемента Абстрактная теория групп. Теперь имеем: Абстрактная теория групп. Пусть p = a (h) , q = a (k) . Тогда Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп. По признаку подгруппы получаем 2. Пусть Абстрактная теория групп то есть элементы p = a (h) , q = a (k) входят в Абстрактная теория групп. Тогда Абстрактная теория групп то есть Абстрактная теория групп. Пусть теперь подгруппа Абстрактная теория группнормальна и Абстрактная теория групп- любой элемент. Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп и потому Абстрактная теория группАбстрактная теория групп.

Определение.

Нормальная подгруппа Абстрактная теория групп называется ядром гомоморфизма Абстрактная теория групп.Образ этого гомоморфизма обозначается Абстрактная теория групп.

Теорема.

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда Абстрактная теория групп

Доказательство.

Поскольку Абстрактная теория групп, указанное условие необходимо. С другой стороны, если Абстрактная теория групп, то Абстрактная теория групп и если ядро тривиально, Абстрактная теория групп и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм Абстрактная теория групп можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма Абстрактная теория групп, изоморфизма Абстрактная теория групп и (инъективного) гомоморфизма Абстрактная теория групп (вложения подгруппы в группу): Абстрактная теория групп.

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j . Пусть Абстрактная теория групп. Элементами факторгруппы Абстрактная теория групп являются смежные классы Hg . Все элементы Абстрактная теория групп имеют одинаковые образы при отображении a : Абстрактная теория групп. Поэтому формула Абстрактная теория групп определяет однозначное отображение Абстрактная теория групп. Проверим сохранение операции Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп.Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если Абстрактная теория групп, то Абстрактная теория групп и потому Абстрактная теория групп. Следовательно, Абстрактная теория групп и по предыдущей теореме j инъективно.

Пусть Абстрактная теория групп - любой элемент. Имеем : Абстрактная теория групп Абстрактная теория групп. Следовательно, Абстрактная теория групп.

10 Циклические группы.

Пусть G произвольная группа и Абстрактная теория групп- любой ее элемент. Если некоторая подгруппа Абстрактная теория групп содержит g , то она содержит и все степени Абстрактная теория групп. С другой стороны, множество Абстрактная теория группочевидно является подгруппой G .

Определение.

Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры

Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1. Группа Абстрактная теория групп поворотов плоскости на углы кратные 2 p ¤ n является циклической с образующим элементом Абстрактная теория групп- поворотом на угол 2 p ¤ n. Здесь n = 1, 2, ...

Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

Доказательство.

Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение Абстрактная теория групп- сюръективно. По свойству степеней Абстрактная теория групп и потому j - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме Абстрактная теория групп. H = Kerj Ì Z. Если H - тривиальная подгруппа, то Абстрактная теория групп. Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZÌ H. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn Î H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что Абстрактная теория групп» Z / nZ .

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...

Определение.

Порядком элемента Абстрактная теория групп называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени Абстрактная теория групп - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы Абстрактная теория групп различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а Абстрактная теория группN кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство Абстрактная теория групп.

Следствие.

Если G - группа простого порядка p, то Абстрактная теория групп- циклическая группа.

В самом деле, пусть Абстрактная теория групп - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )» Абстрактная теория групп.

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HÌ G порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме G» Z / nZ. Естественный гомоморфизм Абстрактная теория групп устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HÌ G и теми подгруппами KÌ Z , которые содержат Kerp = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZÉ nZ , то k - делитель n и p (k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа.

Доказательство.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HÌ G порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Лемма.

Если G обладает свойством (Z), то

Любая подгруппа G нормальна. Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx. Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

Доказательство леммы.

1. Пусть HÌ G . Для любого Абстрактная теория групп подгруппа Абстрактная теория групп имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) Абстрактная теория групп то есть подгруппа H нормальна.

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b Абстрактная теория групп. Следовательно, Абстрактная теория групп. Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то Абстрактная теория групп. Следовательно, Абстрактная теория групп и потому xy = yx.

3. Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hÎ H, kÎ K попарно различны, так как Абстрактная теория групп=e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = Абстрактная теория групп и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение Абстрактная теория групп является гомоморфизмом Абстрактная теория групп с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, Абстрактная теория групп и потому Абстрактная теория групп - подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.

Доказательство теоремы.

Пусть Абстрактная теория групп - разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть Абстрактная теория групп. Выберем в G элемент x максимального порядка Абстрактная теория групп. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен Абстрактная теория групп, где u £ s. Группы Абстрактная теория групп и Абстрактная теория групп имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому Абстрактная теория групп и мы доказали, что x - образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, Абстрактная теория групп) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.

11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Теорема Коши.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g¹ e и Абстрактная теория групп, где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m - порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.

Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме

Лемма.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Доказательство леммы.

Пусть Абстрактная теория групп - элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента Абстрактная теория групп. Тогда Абстрактная теория групп и значит m делится на p. Но тогда Абстрактная теория групп - элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G» Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и Абстрактная теория групп, причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев

G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент Абстрактная теория групппорядка p. Поскольку Абстрактная теория групп в этом случае теорема доказана. G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы. Если G - коммутативна, то возьмем любой Абстрактная теория групп. Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)Ì G. Если это не так, то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2. Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: Абстрактная теория групп. Здесь отдельно выделен класс Абстрактная теория групп и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g¹ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gÎ Z(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому Абстрактная теория групп делится на p: Абстрактная теория групп. Но тогда Абстрактная теория групп - не делится на p, что не соответствует условию.

Замечание.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа Абстрактная теория групп порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.

Доказательство.

Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если Абстрактная теория групп естественный гомоморфизм, то Абстрактная теория групп - подгруппа G порядка m .

Замечание.

Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе Абстрактная теория групп четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.


ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо А можно заказать оригинальный реферат
Опубликовано: 18.08.10 | [ + ]   [ - ]  
Просмотров: 399
Загрузок: 0
Рекомендуем
{dnmbottom}
БАНК РЕФЕРАТОВ содержит более 70 000 рефератов, курсовых, контрольных работ, сочинений и шпаргалок.