Задачи по статистике

В результате выборочного обследования российских автомобилей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа
1. В результате выборочного обследования российских автомо¬билей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме соб¬ственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице.
Пробег, тыс. км. Менее 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5 5 - 6 Более 6 Итого
Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60

Найти:
а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
Пробег, тыс. км. Менее 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5 5 - 6 Более 6 Итого
Середина интервала,
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
Число автомобилей,
3 5 9 16 13 8 6 60

1,5 7,5 22,5 56 58,5 44 39 229

33,007 26,842 15,610 1,608 6,064 22,660 43,191 148,983

Среднее значение вычислим по формуле:
,
где - середины интервалов;
- соответствующие им частоты;
.
.
Дисперсию вычислим по формуле:
.
- средняя квадратическая ошибка выборки.
;
а) , где .
тыс. км.
.
- вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине).
б) Доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:
или 28,3%.
Определяем дисперсию доли
.
Тогда средняя ошибка доли будет
, или 5,15%.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,95 коэффициент доверия составляет t =1,96.
, или 10,1%.
Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:
,
0,283 – 0,101 0,283+0,101,
18,2% 38,4%.
в) Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,9876 коэффициент доверия составляет t =2,5.
.
.
.
- объем выборки, при которой те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

2. По данным задачи 1, используя - критерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай¬ная величина X - средний пробег автомобиля до гарантийного ре¬монта - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответству¬ющую нормальную кривую.
Решение:
Точечные оценки параметров нормального закона распределения:
; .
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
.
В нашем случае:
.
Рассчитаем теоретические относительные частоты:
Нормируем случайную величину Х, т.е. переходим к величине и вычислим концы интервалов ( ):
; (причем наименьшее значение Z полагают равным , а наибольшее ).
Вычислим теоретические вероятности попадания Х в интервалы ( ) по равенству (Ф(z) – функция Лапласа) .
И найдем искомые теоретические частоты .
i

1
-1,79 -0,5 -0,4633 0,0367 2,202
2 -1,79 -1,15 -0,4633 -0,3749 0,0884 5,304
3 -1,15 -0,52 -0,3749 -0,1985 0,1764 10,584
4 -0,52 0,12 -0,1985 0,0478 0,2463 14,778
5 0,12 0,75 0,0478 0,2734 0,2256 13,536
6 0,75 1,39 0,2734 0,4177 0,1443 8,658
7 1,39
0,4177 0,5 0,0823 4,938
Всего: 1 60

Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить нулевою гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, нужно вычислить теоретические частоты (сделали ранее), а затем наблюдаемое значение критерия.
Найдем число степеней свободы к = s -3, где s – число групп; к = 6 - 3=3 (объединили первую и вторую строки (n <5)). Расчеты запишем в таблицу: 1 8 7,506 0,494 0,244036 0,032512 2 9 10,584 -1,584 2,509056 0,237061 3 16 14,778 1,222 1,493284 0,101048 4 13 13,536 -0,536 0,287296 0,021225 5 8 8,658 -0,658 0,432964 0,050007 6 5 4,938 0,062 0,003844 0,000778 =0,443 По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы 2 находим 7,8. Н0: генеральная совокупность распределена нормально. Так как, < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот не значимо. 3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки X (%) и размеру выданных кредитов Y (млн. руб.) представлено в таблице. У X 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Итого 11-13 1 6 7 13-15 4 7 3 14 15-17 1 11 5 1 18 17-19 4 5 2 11 19-21 8 2 10 Итого 12 8 17 13 10 60 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и , и построить эмпирические линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными X и Yсуществует ли¬нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо¬мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото¬рого равна 16%. Решение: 1) Вычислим групповые средние и , построим эмпирические линии регрессии. Для каждого значения , т.е. для каждой строки корреляционной таблицы вычислим групповые средние , где - частоты пар ( ) и . Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X. Аналогично для каждого значения по формуле , где - частоты пар ( ) и . Вычисленные групповые средние поместим в последней строке корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии X по Y. y x 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Итого: Группо вая сред няя, Сере дины интер валов 3,5 6,5 9,5 12,5 15,5 11-13 12 1 6 7 18,36 84 1008 13-15 14 4 7 3 14 22,04 196 2744 15-17 16 1 11 5 1 18 25,50 288 4608 17-19 18 4 5 2 11 30,50 198 3564 19-21 20 8 2 10 32,72 200 4000 Итого: 12 8 17 13 10 60 966 15924 Групповая средняя, 50,14 59,67 72,11 85,57 96,11 42 52 162 163 155 573 147 338 1534,3 2031,3 2402,5 6453 Где, , . Эмпирическая линия регрессии Y по X: Эмпирическая линия регрессии X по Y: 2) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; Вычислим необходимые суммы: ; ; ; ; ; Итак, уравнение регрессии Y по X: . ; . Итак, уравнение регрессии X по Y: . ; . Из первого уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении процентной ставки на 1 % размер выданных кредитов уменьшается на 1,422 млн. руб. Из второго уравнения регрессии X по Y следует, что при увеличении выданных кредитов на 1 млн. руб. уменьшается процентная ставка на 0,539%. Построим графики уравнений регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии: б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У. Вычислим коэффициент корреляции по формуле: . Связь между переменными Х и У обратная, т.к. и достаточно тесная ( достаточно близок к 1). На уровне значимости = 0,05 оценить значимость коэффициента корреляции. Нулевая гипотеза ; конкурирующая гипотеза . Наблюдаемое значение критерия: . По уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице . Поскольку - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото¬рого равна 16%. Подставим в уравнение регрессии ; млн. руб. – средний размер выданного банком кредита.


Скачиваний: 1
Просмотров: 1
Скачать реферат Заказать реферат