Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Упругие свойства материала, математическая постановка задачи, аналитическое решение.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием
Оглавление

Общетеоретическая часть
Прикладная часть

Физическая постановка задачи
Упругие свойства материала
Математическая постановка задачи
Аналитическое решение
Иллюстрация распределения напряжений
Используемая литература.
Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )

Приложение 2. (График распределения напряжений).
1. Общетеоретическая часть

Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия
примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по
главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные
нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.

Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (1)

Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения
зависят только от двух координат, запишутся так:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (2)


В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений
Задача о бесконечной ортотропной пластинке. Но в уравнения равновесия (2)
не входит Задача о бесконечной ортотропной пластинке, тем самым этой функции
определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок
примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2)
и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая
функция U(x1,x2) для которой выполняются условия:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (3)


Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи,
то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (4)


Введем также еще две функции F(x1,x2) и y
(x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся
следующим образом:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три
уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2)
и y (x1,x2), то будут
найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты Задача о бесконечной ортотропной пластинке.


Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как
тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из
которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций
вводится матрица столбец:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (5)


где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих
податливостей Dijmn.


Обозначим Задача о бесконечной ортотропной пластинке как неизвестную функцию
D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


а выражение для Задача о бесконечной ортотропной пластинке будет равно:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Теперь введем приведенные коэффициенты деформацииЗадача о бесконечной ортотропной пластинке,
для которых имеет место выражение:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке, где i,j=1..6 (6)


Подставим выражение для Задача о бесконечной ортотропной пластинке в обобщенный
закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения
примут вид:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (7)


Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой
системе величины Задача о бесконечной ортотропной пластинке- константы,
величины Задача о бесконечной ортотропной пластинке и D зависят от двух
координат x1 и x2, а перемещения ui - функции
трех координат.


Система (7) является системой в частных производных относительно ui
и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует
проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и
5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (8)


Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (9)


Аналогично с 5-ым уравнением:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке          (10)


Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений
Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (11)


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (12)


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (13)


Исходя из того, что:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


функция D будет иметь вид:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (14)


Тогда с учетом системы (7) получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (15)


Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования,
сложения и вычитания) получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (16)


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (17)


Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений
через функции F(x1,x2) и y
(x1,x2) и группируя получим:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (18)


где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы
в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений
в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами.


Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


F0 и y 0 - общее решение
соответствующей однородной системы:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (19)


F* и y * - частные
решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых
частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно
описать нетрудно.


Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее y
0:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (20)


В силу симметрии L их можно менять местами:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (21)


Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка
для функции F. Аналогично находим уравнение для y
:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (22)


Оказалось, что F0 и y 0 должны
удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на
6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить
в виде:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (23)


Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только
от x1 и x2 для Dk имеем:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке (24)


где Задача о бесконечной ортотропной пластинке - это корни алгебраического
(характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному
уравнению (21).


Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному
интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие
общие выражения:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается,
однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих
рассуждений.


Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых
компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная
потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных
и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя
из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое
характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому
можно утверждать, что числа Задача о бесконечной ортотропной пластинкев
общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или
чисто мнимые.


Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом
решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический
аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно
к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое
решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела.

2. Прикладная часть

2.1 Физическая постановка задачи.

Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим
отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными
осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных
осей.


Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие
на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль
оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее
-р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру.

2.2 Упругие свойства материала.

Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками:


Е1=13,0 ГПа;


Е2=19,8 ГПа;


Е3=7,8 ГПа;


G12=4,05 ГПа;


G13=6,4 ГПа;


G23=3,2 ГПа;


n 13=0.25;


n 32=0.14;


n 12=0.176;


n 23=0.06.

2.3 Математическая постановка задачи.

Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения зависят
только от двух координат и fi=0, запишутся так:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Граничные условия будут иметь следующий вид:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


или в развернутом виде применительно к нашей задаче:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


где n - нормаль к контуру отверстия.

2.4 Аналитическое решение.

Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того, что
материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения
коэффициентов Задача о бесконечной ортотропной пластинке распадается на
уравнения 4 и 2 степени:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно
Задача о бесконечной ортотропной пластинке не требуется.


Для решения нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1].
Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул.


Определим для начала необходимые нам константы аij:


Задача о бесконечной ортотропной пластинкевведем теперь следующие обозначения:


Задача о бесконечной ортотропной пластинкеЗадача о бесконечной ортотропной пластинке


Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра Задача о бесконечной ортотропной пластинке:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия - Задача о бесконечной ортотропной пластинке
где, как показывает ряд решенных задач, оно получается наибольшим. Опуская
промежуточные выкладки приведем две формулы (при растяжении вдоль большой
и малой оси эллипса):


Задача о бесконечной ортотропной пластинке


для нашей задачи в силу принципа суперпозиции (а его можно применить, так
как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями и деформациями, а также
считаем их малыми) получим следующую общую формулу:


Задача о бесконечной ортотропной пластинке

2.5 Иллюстрация распределения напряжений.

Для построения эпюры напряжений на краю отверстия воспользуемся возможностями
математического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаем
напряжения Задача о бесконечной ортотропной пластинке в зависимости от угла
и отложим их на графики от контура отверстия на продолжении лучей, проведенных
из центра через данные точки контура. Положительные напряжения изображены
стрелками направленными от центра к периферии, отрицательные - стрелками направленными
к центру. При расчетах полагалось р=1.


Результаты расчета и график распределения напряжений приведены соответственно
в приложениях 1 и 2.


Проведем небольшой анализ полученных результатов. Как мы видим максимальное
напряжение наблюдается в точках Задача о бесконечной ортотропной пластинке,
оно равно

-6р. То есть наблюдаем концентрацию в 6 раз по сравнению с пластинкой без
отверстия.

Используемая литература:


Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Гостехиздат М. 1950
г.
Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. "Наука" М. 1977
г.
под ред. Любина Д. Справочник по композиционным материалам.. Машиностроение
М. 1988 г.

Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Приложение 2. (График распределения напряжений)
Задача о бесконечной ортотропной пластинке


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат