Вычислительная математика

Найти абсолютную Δ и относительную δ погрешности числа а, имеющего только верные цифры.
a=2,3445

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Задача 1. Найти абсолютную Δ и относительную δ погрешности числа а, имеющего только верные цифры.
a=2,3445
Решение:
Пусть α = 2,3445 – приближенное значение числа α, причем все цифры приближения верные. Если число α имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность:
,
где k – первая значащая цифра числа α.
Относительная погрешность числа α:
.
Абсолютная погрешность числа α:
.
Задача 2. Вычисление по формуле Симпсона приближенное значение определенного интеграла с шагом и . Расчеты произвести с точностью 10-3.
f(x) a b

-2 8

Оценить абсолютную погрешность по правилу Рунге. Ответ дать с учетом поправки Рунге.

Решение:
Для численного интегрирования заданной функции необходимо разбить область интегрирования на n равных частей с шагом . Согласно правилу Симпсона:

.
Для оценки абсолютной погрешности воспользуемся правилом Рунге:
.
Приближенное значение интеграла с учетом правила Рунге:
.
Вычисление интеграла при шаге h1:

Вычисление интеграла при шаге h2:

Абсолютная погрешность по правилу Рунге:
<0,001. Приближенное значение интеграла с учетом поправки Рунге: . Задача 3. Дано дифференциальное уравнение второго порядка вида с начальными условиями и . Уравнение Для данного дифференциального уравнения найти решение y=y(x), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде: а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной ряд; б) по методу Рунге-Кутта составить таблицу приближенных значений решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей заданному уравнению, на отрезке [0;0,5] с шагом h=0,1. Все вычисления производить с округлением до пятого десятичного знака. Результаты, полученные в п. а) и б), сравнить. Решение Решим дифференциальное уравнение двумя способами: а) разложение в степенной ряд Приближенное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, можно получить путем разложения в степенной ряд Маклорена в окрестности точки х0=0: Согласно условию задачи, рассчитаем пять отличных от нуля членов разложения, предварительно вычислив соответствующие производные высших порядков по следующим формулам: 1) ; 2) ; 3) . Подставляя начальные условия из задачи, имеем: . Таким образом, данный метод не подходит. То есть при заданных начальных условиях решение данного уравнения не имеет разложения в ряд. Найдем общее решение обычным методом б) численное решение по методу Рунге-Кутта Для того, чтобы применить к заданному уравнению численный метод Рунге-Кутта, следует свести это уравнение к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для этого произведем следующую замену: . Тогда, исходное уравнение можно записать в следующем виде: . Согласно метода Рунге-Кутта для системы двух дифференциальных уравнений вида и можно записать следующие формулы: , где Применяя формулы к полученной системе, получаем тоже нулевые значения.


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат