Вычисления в системе компьютерной математики Maple

Maple – система компьютерной математики. При помощи общепринятых математических сокращений выполняется ввод математических выражений в диалоговом режиме с системой.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Задание 1
Вычисления в системе компьютерной математики Maple
Maple – система компьютерной математики. При помощи общепринятых математических сокращений выполняется ввод математических выражений в диалоговом режиме с системой.
Решение простейших арифметических задач осуществляется с помощью операторов и функций (с параметрами) для создания и вычисления математических выражений. Команды записываются красным цветом после знака “>”, затем нажимается “Enter”. Каждая команда заканчивается знаком ”;”.
Записанная с заглавной буквы функция является инертной, т.е. отображает символическое выражение. Записанная с прописной буквы функция является исполняемой, т.е. служит для вычисления и выдачи ответа.
При нажатии кнопки "[>" (Вставка исполняемого выражения) создается следующая строка для записи математических выражений.
При нажатии кнопки "Т" (Вставка комментария) строка, в которой стоит курсор, трансформируется для записи комментариев, при этом на рабочем окне системы появляется панель форматирования, которая имеет общепринятые обозначения кнопок.
Не забывайте о разнице между обычной записью математических выражений и командой Maple. Так выражение 5sin3x записывается в виде 5*sin(3*x). Не забывайте также правильно указывать последовательность операций с помощью скобок. Например, дробь (a+b)/(c-d)  записывается (a+b)/(c-d), выражение cos2x записывается (cosx)^2 .
Аргумент функции всегда записывается в скобках. Например, sinx записывается в виде sin(x).
Также по-другому записываются функции: экспоненциальная функция ex – exp(x), логарифм logab – log [a](b), квадратный корень – sqrt(x), корень n-ой степени из x – root(x,n).
Для упрощение выражения используется оператор simplify(f), где f – выражение.
Для подстановки числовых значений в выражение используется оператор subs, например, для вычисления значения выражение x3+5x при x=2:
subs (x=2, x^3+5*x);
Для раскрытия скобок – expand (f), где f – выражение.
Для разложения на множители используется оператор factor (f).
Для решения уравнений (или выражения одной из переменных из уравнения) применяется оператор solve (u, x), где u – уравнение, x – переменная, которую необходимо найти (выразить).
Для вычисления производных функций fn(x) = dfn(x)/dxn n-го порядка Maple имеет функцию diff (f(x), x$n). Функция diff (f(x), x) вычисляет первую производную функции f(x) по переменной х.
Для вычисления неопределённых интегралов используется функция int (f,x), где f - подынтегральная функция, х - переменная, по которой выполняются вычисления.
Для вычисления определённых интегралов используется функция int(f,x=a..b), где a и b - пределы интегрирования. Предел “бесконечность” обозначается “infinity”.
Для вычисления предела функции f в точке x=a используется функция limit(f, x=a). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).
Для решения дифференциальных уравнений используется функция dsolve (F, y(x)), где F – уравнение относительно искомой функции y(x), содержащее саму неизвестную функцию и ее производную. В уравнении производная y’ записывается как diff (y(x), x). Для нахождения частного решения дифференциального уравнения указываются начальные условия: dsolve ({F, y(x0)=y0}, y(x)). Аналогично решается дифференциальное уравнение второго порядка, только вторая производная y’’ записывается как diff (y(x), x$2). Для нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка записывается команда dsolve ({F, y(x0)=y0, D(y)(x0)=y’(x0)}, y(x)).
Для построения графика существует команда plot(y(x), x=a..b, color=…), где a и b – пределы графика, а после “color=” указывается цвет графика (red, blue, green, black, cyan, magenta и т.д.). Для построения нескольких графиков в одной системе координат применяется команда plot({y1(x), y2(x), …, yn(x)}, x=a..b).
Справочная система Maple дает возможность копировать и воспроизводить примеры, что позволяет быстро освоить синтаксис языка Maple.
Пример
1. Решить задачи в системе компьютерной математики Maple:
d/dx(tg√x∙√(cos⁡x ))
Решение:


Задание 2
Математические методы оптимизации
Математическое программирование — дисциплина, изучающая теорию и методы решения задачи оптимизации.
В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Задачей оптимизации в математике и информатике называется задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.
Формулируется так называемая транспортная задача: в некотором географическом регионе имеется фиксированное число пунктов производства и хранения некоторого однородного продукта и конечное число пунктов потребления этого продукта. Для каждого из пунктов производства и хранения известен объем производства продукта или его запаса. Для каждого пункта потребления задана потребность в продукте в этом пункте потребления.
Требуется определить оптимальный план перевозок продукта, так чтобы потребности во всех пунктах потребления были удовлетворены, а суммарные затраты на транспортировку всей продукции были минимальными.
Очевидно, оценочной функцией в данной задаче являются суммарные затраты на транспортировку всей продукции, а ограничениями служат объемы производства и потребности в продукте в каждом пункте потребления.
Методами решения задач линейного программирования являются, например, метод потенциалов, а также симплекс-метод (обобщение метода потенциалов для случая общей задачи линейного программирования).
В системе компьютерной математики Maple есть пакет функций simplex для решения задачи линейной оптимизации.
Функции maximize(f,C), minimixe(f,C) (вычисление соответственно максимума и минимума функции) оптимизируют задачу симплекс-методом. Здесь f – линейное выражение (целевая функция, которую нужно минимизировать или максимизировать), С – множество или список условий.
Математически задача формулируется так: необходимо осуществить доставку однородной продукции из пунктов А1, А2 и т.д. в пункты В1, В2 и т.д. Количество единиц продукции в пунктах А1, А2 и т.д. соответственно равно а1, а2 и т.д. Потребности пунктов В1, В2 и т.д. в единицах продукции соответственно равны b1, b2 и т.д. Стоимость доставки единицы продукции из пункта Аi в пункт Вj – Cij. Из пункта Аi в пункт Вj перевозится xij единиц продукции (xij > 0).
Стоимость перевозки из пункта Аi в пункт Вj xij единиц продукции составит
Сij*xij, а суммарная стоимость всех перевозок f=∑▒C_ij ∙x_ij. Эта суммарная стоимость перевозок f является целевой функцией, которую необходимо минимизировать.
В системе Maple запускается пакет simplex:
> restart; with(simplex);
Создаются списки:
> a1:=___; a2:=___;
> b1:=___; b2:=___;
> c11:=___; c12:=___; c13:=___; и т.д.,
c21:=___; c22:=___; c23:=___;
и т.д.

Общее количество произведенной продукции:
> A: = a1+a2+ …;
Общая потребность в продукции:
> B: = b1+b2+b3+b4;
Если суммарные запасы продукции на складах равны сумме потребностей в ней всех торговых точек, транспортная задача является сбалансированной.
Задаются области ограничений:
> ogranicheniya1:= { x11+x12+x13+…= a1, x21+x22+x23+…= a2, …, x11+x21+x31+ … =b1, x12+x22+x32+…=b2, …};
> ogranicheniya2:= {x11>=0, x12>=0, …, x21>=0, x22>=0, … };
Полный список условий является объединением (union) областей ограничений:
> spisok_usloviy: = ogranicheniya1 union ogranicheniya2;
Задается целевая функция (суммарные затраты на перевозку продукции):
> celevaya_funkciya: = c11*x11+c12*x12+…+c21*x21+c22*x22+…;
Минимизируем целевую функцию на области ограничений (списке условий):
> F: = minimize (celevaya_funkciya, spisok_usloviy);
Результатом будет множество F:={x21=…, x12=… и т.д.} – опорный план: набор значений xij, при которых затраты минимальны. Эти затраты можно рассчитать. Для этого осуществим подстановку: введем параметры X11, X12, …, которые примут значения x11, x12, … из множества F:
> X11: = subs(F,x11); X12: = subs(F,x12); X13: = subs(F,x13); X21: = subs(F,x21); X22: = subs(F,x22); X23: = subs(F,x23); …
Подставим эти параметры в выражение для целевой функции:
> C: = c11*X11 + c12*X12 + c13*X13 + … + c21*X21 + c22*X22 + c23*X23 + …;
Пример
Фармацевтической фирме необходимо осуществить доставку однородной фармацевтической продукции, находящейся на четырех складах А1, А2, А3, А4 в четыре торговые точки В1, В2, В3, В4. Количество единиц продукции на каждом из складов А1, А2, А3, А4 соответственно равно а1, а2, а3, а4. Потребности торговых точек В1, В2, В3, В4 в единицах продукции соответственно равны b1, b2, b3, b4. Известны стоимости Cij доставки (транспортные расходы) единицы продукции со склада Аi в торговую точку Вj . Со склада Аi (i = 1, 2, 3, 4) в торговую точку Вj (j = 1, 2, 3, 4) перевозится xij единиц продукции. Переменные xij не могут принимать отрицательных значений (xij > 0), так как перевозки осуществляются только в одном направлении: со складов в торговые точки. 2 Требуется составить математическую модель транспортной задачи, вычислить оптимальный план перевозок, т.е. найти такие значения объемов перевозок xij однородной фармацевтической продукции со складов Аi в торговые точки Вj, чтобы вывести всю продукцию со складов, удовлетворить потребности торговых точек и обеспечить минимальные транспортные расходы. Решение задачи должно иметь пояснение и табличные иллюстрации. Решение необходимо осуществить двумя способами: методом «северо-западного угла» (достаточно провести 4-5 циклов) и применяя систему компьютерной математики Maple),
a1 140 b1 90 C11 4 C21 5 C31 1 C41 5
a2 220 b2 150 C12 2 C22 4 C32 2 C42 4
a3 100 b3 140 C13 3 C23 5 C33 3 C43 5
a4 40 b4 120 C14 6 C24 1 C34 6 C44 6
Решение задачи должно иметь пояснение и табличные иллюстрации.
Решение:
Решение задачи методом «северо-западного» угла.
Проверим на сбалансированность:
a1+a2+a3+a4=A
140+220+100+40=500
b1+b2+b3+b4=B
90+150+140+120=500
Т.к. А=В, значит, задача является сбалансированной.

2. Начальное решение
b1=90 b2=150 b3=140 b4=120
a1=140
a2=220
a3=100
a4=40
По методу северо-западного угла распределение начинается с верхней левой клетки.
b1=90 b2=150 b3=140 b4=120
a1=140 90 50
a2=220 220
a3=100 100
a4=40 40
0 150 140 120
Сравним a1 и b2.
Т.к. a1


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат