Векторная алгебра

Свойства и уравнения векторной алгебры.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

   ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА  - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций  относятся линейные операции над векторами:
операция сложения векторов и умножения вектора на число.


   Суммой a+b векторов a  и b  называют вектор , проведенный из начала a
к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:


   a+b=b+a                (коммутативность)


       (а+b)*с=а*(b+с)   (ассоциативность)


       a + 0=a                   (наличие нулевого элемента )


       a+(-a)=0                 (наличие противоположного элемента),


где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b
называют вектор x такой, что x+b=a.


Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют  вектор, модуль которого равен |l||a|
и
который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную,
если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то
la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:


 


 l*(a+b)=
l*a+l*b   (дистрибутивность относительно сложения
векторов)          


(l+u)*a=l*a+u*a     (дистрибутивность относительно сложения
чисел)


 l*(u*a)=(l*u)*a      (ассоциативность)


 1*a=a                        (умножение на единицу)


Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на
число образует векторное пространство (линейное пространство).


В Векторной  алгебре  важное  значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются  линейно  
зависимыми   векторами, если существуют числа  a, b,…, g из которых хотя бы одно
отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:


aa+bb+…gc=0.      (1)


  Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для
линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы.
Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g  равны нулю. На плоскости существует не более
двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.


Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного
пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:


 


a=a1e1+a2e2+a3e3.


Числа  a1,a2,a3 называют координатами
(компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.


Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности  векторов  a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их
соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и
достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3}  и c={c1,c2,c3}  является равенство :


                         


a1 a2 a3
|


      |  b1 b2 b3| = 0


c1 c2 c3
 |


Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}    равны суммам соответствующих
координат:  a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты
произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l
:


                                         lа= {lа1,la2, la3}.


Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:


                              


                                               (а, b) = | а |*| b
| cos
j.


За  j  принимается угол между векторами, не
превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает
свойствами:


     (a, b)= (b, а) (коммутативность),


     (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),


      l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность
относительно умножения на число),


     (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.


Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов
в базисе, состоящем из единичных       взаимно         перпендикулярных        векторов        (ортов)          i, j, k  ( ортонормированный  базис). Скалярное произведение векторов :


                                              a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}  


заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: 


                                                (a,b)=a1b1+a2b2+a3b3



Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}  


может быть вычислен по формуле:


             


                                             Векторная алгебра


 где Векторная алгебра и Векторная алгебраВекторная алгебраВекторная алгебра


Косинусы углов вектора a={a1,a2,a3}  с векторами базиса i,
j, k

называют. направляющими косинусами вектора а:


     Векторная алгебра ,  Векторная алгебра ,   Векторная алгебра.


Направляющие косинусы обладают следующим  свойством:


                                        cos2a+cos2b+cos2g=1


Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е
а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а
на вектор е. Проекции обладают свойствами:


                            Пр. е (a+b)=
Пр. е
a+ Пр. е b  (аддитивность),


                            Пр. е a = Пр. е la                     (однородность).


Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.


В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю
из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c -
левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы
правой (левой) руки(см. рис).   Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.


Векторная алгебра


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат