Тригонометрия

Шпаргалки по тригонометрии.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Действительные числа:


Теорема: R - несчётное множество.


Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) 


X1=0,n11n12n13…n1k…       m1Î{0,1,…,9}{9,n11}


X2=0,n21n22n23…n2k…       m2Î{0,1,…,9}{9,n22}


………………………       ………………………


Xk=0,nk1nk2nk3…nkk…       mkÎ{0,1,…,9}{9,nkk}


a=0,m1m2…mk… Þ a¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk


aÏ(0;1) Противоречие.


0<a<1 Þ R - несчётное множество.


Теорема: Q - Счётное множество.


Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-U{0}UQ+


Док-во:


 Тригонометрия 


Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных


 множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные


. По теореме: Всякое множество счётных  одмножеств явл. Само счётным Þ Q - сч. мн.


Предел числовой последовательности:


Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}


Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого


 бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e - окрестность точки a.


Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.


$n0=n0(e)ÎN: n>n0
Þ |xn-a|<e        a=limxn , при n®¥


Свойства:


1. Единственность (Если предел есть, то только один)


Док-во: Метод от противного. a=limxn ,  b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0


$n0=n0(e/3):|xn-a|<e/3  и  |xn-b|<e/3


e=a-b=(a-xn)-(b-xn)


e=|(a-xn)-(b-xn)|£ |(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3


e£2e/3 Противоречие.


2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)


Дано: $limxn=a, при n®¥  -  конечный предел


Док-ть:$M>0:|xn|<M "n


Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n0=n0(e):a-e<xn<a+e, при n>n0


Пусть e=1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1
или |xn-a|<1


Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1  "n>n0(1)


P=max{|a1|,|a2|,…,|ano|}


M=max{P,|a|+1}Þ|xn|<M "n


3. Предел подпоследовательности (Если
последовательность имеет предел а, то любая


 её подпоследовательность имеет тоже предел а)


Свойства предельного перехода связанные с  неравенствами:


Теорема 1. Пусть $limxn=x,
при n®¥ - конечный (1 последовательность)


                               $limyn=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)


Если x<y, то для почти всех n  xn<yn


Док-во: e=y-x>0


$n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n|


$n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n|


n0=max{n|,n||}, n>n0


x-e/3<xn<x+e/3 î


y-e/3<yn<y+e/3 ì Þ xn<x+e/3<y-e/3<yn
Þ "n>n0 xn<yn  Что и т. док-ть.


Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то


 эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n


 сохраняет знак своего предела)


x=limxn, x¹0


1) x>0 Предположим x>0  x/2>0Þx>x/2


limxn>x/2, при n®¥ Из Т.1. следует, что $n0:"n>n0
xn>x/2>0


Теорема 2. Предположим, что $limxn=x и $limyn=y,
при n®¥


Если для почти всех n:xn£yn, то и x£y


Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þ xn>yn для почти всех n


Противоречие.


Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.


Пусь $limxn=limyn=a, при n®¥, и предположим, что xn£zn£yn "n, тогда


1) Сущ. limzn, при n®¥


2) limzn=a, при n®¥


Док-во: $n|=n|(e):a-e£xn£a+e, "n>n|


               $n||=n||(e):a-e£yn£a+e, "n>n||


n0=max{n|,n||}


n>n0 Þ a-e£xn£zn£yn£a+e Þ a-e£zn£a+e Þ $limzn=a


Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:


defû {xn}-б.м. :=limxn=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0
Þ |xn|<e


defû {xn}-б.б. :=limxn=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0
Þ |xn|>e


Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.


{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.


Док-во: $M>0:|yn|£M "n - значит ограничена.


"e>0 $n0=n0(e/M):n>n0
Þ |xn|<e/M Þ


Þ n>n0 |xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=e Þ {xnyn}-б.м.


Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.


{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля


Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ {xnyn}-б.б.


Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.


{xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м.


Док-во: "e $n|=n|(e/2):n>n| |xn|<e/2


                     $n||=n||(e/2):n>n|| |yn|<e/2


n0=max{n|,n||}


n>n0 Þ |xn+yn|£|xn|+|yn|<e/2+e/2=e


Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей


 нужно применить метод мат. индукции.


Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака


Док-во: Очивиднл.


Неопределённые интегралы.


def / F(x) называется первообразной


      для f(x) на [a;b] если F ¢(x)=f(x)


У непрерывной функции первообразная


      всегда есть.


Теорема: Различные первообразные


       одной и той же функции отличаются


       на одно и тоже постоянное слагаемое.


Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)


F(x)= F1(x)- F2(x)


F ¢(x)= F1¢(x)- F1¢(x)=f(x)-f(x)=0


F(x)=const


Def / Совокупность всех первообразных одной


       и той же функции называется её


       неопределённым интегралом.


Тригонометрия


Тригонометрия


Тригонометрия


Св-ва линейности:


 Тригонометрия


Замена переменных в неопределённом интеграле


        или методом подстановки.


Теорема: Пусть функция     x=


        x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1(a;b), fÎC(a;b)


1) Тригонометрия


½x=x(t)


2)  Если x¢(t) сохраняет знак, тогда


Тригонометрия


½t=t(x)


Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)


2) x(t) – строго монотонная Þ $обратная t=t(x)


Тригонометрия


½t=t(x)


Интегрирование по частям.


Тригонометрия


Рекуррентная формула.


Тригонометрия


y=a+bx2  y¢=2bx  xy¢=2bx2=2(y-a)


U=1/yn  dx=dV dU=(-ny¢/yn+1)dx  V=x


Тригонометрия


Тригонометрия


In=x/yn+2nIn-2naIn+1


1) In+1=(1/2na)(x/yn+(2n-1)In),
n¹0, a¹0


2) In=(1/(2n-1))(2naIn+1-x/yn),
n¹1/2, a¹0


Поле комплексных чисел.


(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi


      – алгебраическая запись комплексного числа


Чертёж :


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат