Теория вероятности и математическая статистика

В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынутыми окажутся – 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1 3
Задание 2 4
Задание 3 5
Задание 4 6
Задание 5 7
Задание 6 9
Литература 10

Задание 1

В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынутыми окажутся – 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара.

Решение

Из 15+9+6=30 шаров в ящике выбрать 6 шаров можно способами. 1 из них должен быть зеленым, выбрать который из 6 имеющихся зеленых шаров в ящике можно способами; 2 синих шара можно выбрать способами; 3 красных шара можно выбрать способами.
Общее число благоприятствующих нашему событию исходов по правилу умножения в комбинаторике равно
По классическому определению вероятности вероятность искомого события равна
.

Ответ: 0,166.

Задание 2

В соревновании участвуют 4 студента из 1-ой группы, 6 – из 2-ой и 5 – из 3-ей. Студенты могут попасть в сборную института с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент попадёт в сборную?

Решение

Обозначим через событие А={наудачу выбранный студент попадёт в сборную}.
С данным событием связаны следующие гипотезы:
Н1={студент из 1-ой группы},
Н2={студент из 2-ой группы},
Н3={студент из 3-ой группы}.
Вероятности этих гипотез по условию равны:
.
Гипотезы составляют полную группу событий, поскольку
.
Условные вероятности события А при наступлении гипотез равны
.
Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Ответ: 0,793.


Задание 3

Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Какова вероятность того, что при испытаниях из 10 приборов будет работать не менее 2-х приборов?

Решение

Условие задачи можно рассматривать как серию из n=10 независимых опытов, состоящих в испытаниях приборов. В результате каждого опыта событие, состоящее в том, что прибор будет работать, появляется с постоянной вероятностью р=1–0,2=0,8 и не появляется с вероятностью q=1–р=0,2 (это вероятность отказа прибора). Вероятность Pn(k) того, что в последовательности из n опытов интересующее нас событие произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли:
.
Найдем вероятность события А={из 10 приборов будет работать не менее 2-х приборов}:

Ответ: 0,999996.

Задание 4

Всхожесть хранящегося на складе зерна равна 80%. Отбираются 400 зерен. Определить вероятность того, что из отобранных зерен взойдут ровно 303 зерна.

Решение

Условие задачи можно рассматривать как серию из n=400 независимых испытаний, состоящих в проверке зерен на всхожесть, в каждом из которых с вероятностью p=0,8 может осуществиться событие, что зерно взойдет. Вероятность того, что зерно не взойдет, равна q=1–p=1–0,8=0,2.
Для вычисления вероятностей того, что в n испытаниях событие наступит m раз, воспользуемся формулой Бернулли:
,
где φ(х) – функция Гаусса.
Имеем
n=400, m=303, p=0,8, q=0,2.
Тогда

Ответ: 0,0052.


Задание 5

В магазине продаются пять отечественных и три импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины Х – числа импортных телевизоров из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины.

Решение

Случайная величина Х – число импортных телевизоров из четырех наудачу выбранных телевизоров – может принимать значения 0;1;2;3.
Найдем, например, вероятность события Х=0.
Общее число телевизоров равно 5+3=8. Из них случайно отбирается 4 телевизора. Всего возможностей выбрать такое количество телевизоров равно числу сочетаний из 8 элементов по 4, т.е. С48. Возможностей выбрать 0 импортных телевизоров из 3 имеющихся есть С03, возможностей выбрать оставшиеся 4 телевизора из 5 отечественных есть С45. Общее число благоприятствующих нашему событию выборов есть С03* С45.
По классическому определению вероятности вероятность искомого события равна
.
Аналогично находим вероятности оставшихся событий:

Делаем проверку ∑рi=1:

– выполняется.

Тогда закон распределения случайной величины Х имеет вид:

хi 0 1 2 3
pi

Вычислим функцию распределения СВ Х по формуле:
.
Получим

Ответ: закон распределения:

хi 0 1 2 3
pi

функция распределения:


Задание 6

Математическое ожидание случайной величины Х равно 1,5. Закон распределения задан таблицей:

Х -1 x2 2 4
pi 0,2 p2 0,3 0,2

Найти значения x2 и p2, дисперсию Х.

Решение

Неизвестную вероятность р2 находим из условия . Тогда
.
Для нахождения неизвестного значения х2 воспользуемся формулой для математического ожидания и тем, что оно равно 1,5:
Значит, ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Х -1 1 2 4
pi 0,2 0,3 0,3 0,2

Находим дисперсию:

Ответ: p2=0,3, х2=1, D(X)=2,65.


Литература

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: – Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с.
3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.
4. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1983. - 279 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: - Учеб. пособие. 5-е изд. - М.: Высш. шк., 1999. – 276 с.
7. Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. – Мн.: Выш. шк., 1984. – 223 с.
8. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с.
9. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика/ Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. - 428 с.
10. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Под ред. А.А.Свешникова. - М.: Наука, 1965. – 656 с.
11. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике/ Под ред. А.П.Рябушко. – Мн.: Выш. шк., 1992. – 191 с.
12. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ В.С.Королюк и др. – М.: Наука, 1985. – 640 с.
13. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум по ЭВМ по математической статистике. – Мн.: Университетское, 1987. – 304 с.
14. Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов радиотехнических специальностей. Ч.1. - Мн.: МРТИ, 1994. – 49 с.
15. Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов радиотехнических специальностей. Ч.2. - Мн.: МРТИ, 1995. – 47 с.
16. Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания и контрольные задания по курсу “ Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов всех специальностей БГУИР заочной формы обучения. - Мн.: БГУИР, 1999. – 61 с.


Скачиваний: 1
Просмотров: 1
Скачать реферат Заказать реферат