Теория вероятности и математическая статистика

Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа № 1
1. Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель. Найти вероятность того, что охотник:
а) попадет в дичь при третьем выстреле; б) произведет все три выстрела.
Решение:
а) Пусть событие А – охотник попадет в цель при третьем выстреле. По условию задачи p_1=0,8,p_2=0,6,p_3=0,4, найдем обратные вероятности: q_1=1-p_1=1-0,8=0,2; q_2=1-p_2=1-0,6=0,4; q_3=1-p_3=1-0,4=0,6.
Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий [1, стр. 38] P(A)=q_1∙q_2∙p_3=0,2∙0,4∙0,4=0,032.
б) Пусть событие B – охотник произведет все три выстрела, то есть он промахнется первыми двумя и попадет или не попадет третьим. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий [1, стр. 36] и теоремы умножения вероятностей независимых событий [1, стр. 38], найдем вероятность этого события:
Тогда P(B)=q_1∙q_2∙p_3+q_1∙q_2∙q_3=0,2∙0,4∙0,4+0,2∙0,4∙0,6=0,08.

2. В партии из 8 деталей 6 деталей – стандартные. Наугад отбираются две детали.
Составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных.
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.
Решение:
Рассмотрим случайную величину  – число стандартных деталей среди отобранных. Очевидно, что такая случайная величина может принимать следующие возможные значения: 0, 1, 2.
Для составления закона распределения вычислим соответствующие возможным значениям вероятности.
Событие (=0) означает, что среди отобранных деталей 0 стандартных. Значит из 6 стандартных деталей выбрали 0, а из 8-6=2 нестандартных – 2. По классическому определению вероятности:
P("" =0)=(С_6^0∙С_2^2)/(С_8^2 )=(6!/0!(6-0)!∙2!/2!(2-0)!)/(8!/2!(8-2)!)=1/28=0,036
Событие (=1) соответствует тому, что среди отобранных деталей одна стандартная. Значит из 6 стандартных деталей выбрали 1, а из 8-6=2 нестандартных – 1. По классическому определению вероятности:
P("" =1)=(С_6^1∙С_2^1)/(С_8^2 )=(6!/1!(6-1)!∙2!/1!(2-1)!)/(8!/2!(8-2)!)=12/28=0,429
Аналогично вычисляем вероятность события (=2):
P("" =2)=(С_6^2∙С_2^0)/(С_8^2 )=(6!/2!(6-2)!∙2!/0!(2-2)!)/(8!/2!(8-2)!)=15/28=0,535
Итак, запишем закон распределения в виде таблицы:
x_i 0 1 2
p_i 0,036 0,429 0,535
:

Проверим выполнение основного свойства закона распределения:
0,036+0,429+0,535=1
2) Найдем функцию распределения на каждом промежутке.
• Для любого х, принадлежащему промежутку (- ; 0] , по определению функции распределения следует, что F(x)=P("" 2 все возможные значения случайной величины , будут меньше любого х, и, таким образом, событие ("" 2)┤
3) Найдем числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию. Согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, получим:
M()=∑_(i=1)^n▒〖x_i p_i=0∙0,036+1∙0,429+2∙0,535=1,499〗. [1, стр. 98]
Для вычисления дисперсии воспользуемся свойством дисперсии:
D()=M(^2 )-M^2 (). [1, стр. 102]
Таким образом, необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины M(^2 ), которое определяем по формуле:
M(^2 )=∑_(i=1)^n▒〖x_i^2 p_i=0^2∙0,036+1^2∙0,429+2^2∙0,535=2,569〗
Тогда D()=M(^2 )-M^2 ()=2,569-〖1,499〗^2=0,32.
3. Плотность вероятности случайной величины ξ имеет вид:
φ(x)={■(0&при x<1@1/3&при 1≤x≤a@0&при x>a)┤
Необходимо:
а) найти параметр a;
б) M() и σ();
в) найти вероятность P(0<<2); г) функцию распределения F(x) и построить ее график. Решение: а) Найдем параметр A из условия [1, стр. 114]: ∫_a^b▒〖f(x)dx=1〗 ∫_1^a▒〖1/3 dx=1↔1/3 x|■(a@1)=1↔1/3 a-1/3=1↔1/3 a=4/3┤ 〗 Значит a=4 б) Найдем математическое ожидание по формуле [1, стр. 115]: M(ξ)=∫_a^b▒〖x∙f(x)dx〗 M(ξ)=∫_1^4▒〖x∙1/3 dx〗=1/3∙x^2/2 |■(4@1)=1/6 (4^2-1^2 )=15/6=2,5┤ Для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение найдем дисперсию по формуле [1, 117]: D(ξ)=∫_a^b▒〖x^2∙f(x)dx-M^2 (ξ)〗 D(ξ)=∫_1^4▒〖x^2∙1/3 dx〗-〖2,5〗^2=1/3∙x^3/3 |■(4@1)-6,25=1/9 (4^3-1^3 )-6,25=63/9-6,25=0,75┤ Тогда среднее квадратическое отклонение равно: σ(ξ)=√(D(ξ) )=√6,25=0,866 в) Найдем функцию распределения F(x) по определению [1, стр. 114] F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt Получаем: Пусть x<1, тогда f(x)=0 , тогда F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^x▒0dt=0. Пусть 1≤x≤4 , тогда f(x)=1/3, тогда F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^1▒0dt+∫_1^x▒〖1/3 dt〗=0+1/3 t|■(x@1)┤=1/3 x-1/3 Пусть x > 4, тогда f(x)=0, тогда F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^1▒0dt+∫_1^4▒〖1/3 dt+∫_5^(+∞)▒0dt〗=0+1/3 t|■(4@1)┤+0=1/3 (4-1)=3/3=1
Таким образом,
F(x)={■(0&x<1@1/3 x-1/3&1≤x≤4@1&x>4)┤
Воспользуемся формулой P(a<"" A)≤M(x)/A [1, стр. 223]
Заданная случайная величина ξ является положительной случайной величиной с M(ξ) = 2,5. Следовательно, в соответствии с леммой Чебышева, P(ξ>3)≤2,5/3=0,83 .
б) Неравенство Чебышева: P(|x-a|≤ε)≤1-D(x)/ε^2 [1, стр. 225]
Заданная случайная величина ξ является положительной случайной величиной с M(ξ) = 2,5. Следовательно, в соответствии с неравенством Чебышева вероятность того, что наудачу выбранный день уровень воды в реке окажется в пределах от 2,2 м до 2,8 м: P(|x-2,5|≤0,3)≤1-〖(0,2)〗^2/〖0,3〗^2 =0,556
Список литературы:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2004 г.
Геворкян П.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Курс лекций/ П.С. Геворкян, А.В. Потемкин, И.М. Эйсымонт.— М.: Экономика, 2012.


Скачиваний: 1
Просмотров: 8
Скачать реферат Заказать реферат