Теория вероятности и математическая статистика

Среди 20 электролампочек 3 нестандартные. Одновременно берут 3 лампочки. Найти вероятность того, что не менее двух лампочек будут стандартными.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа
1. Среди 20 электролампочек 3 нестандартные. Одновременно берут 3 лампочки. Найти вероятность того, что не менее двух лампочек будут стандартными.
Решение:
Пусть событие А - не менее двух лампочек будут стандартными (две или три лампочки будут стандартными).
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 3 лампочки из 20, т.е. числу сочетаний из 20 элементов по 3 элемента ( ).
Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А.
Две стандартные лампочки можно отобрать из 20 – 3 = 17 стандартных лампочек способами; при этом остальные 3 – 2 = 1 лампочка может быть нестандартная; отобрать же 1 лампочку из 3 нестандартных лампочек можно способами.
Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .
Три стандартные лампочки можно отобрать из 20 – 3 = 17 стандартных лампочек способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность равна:
.
Ответ: .

2. В цепи из четырех последовательно соединенных элементов произошло замыкание. Мастер проверяет элементы последовательно, пока не обнаружит замыкание (проверенный элемент повторно не проверяется).
Составить закон распределения числа проверенных мастером элементов.
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения данной случайной величины.
Решение:
Пусть - вероятность безотказной работы элемента.
- вероятность отказа элемента.
Случайная величина Х может принимать значения: 1,2,3,4.
;
;
;
.
Составим закон распределения числа проверенных мастером элементов - Х:

1 2 3 4

0,25 0,1875 0,140625 0,421875

Сумма называется математическим ожиданием дискретной случайной величины и обозначается .
;
.
Дисперсией D(X) случайной величины X называется математической ожидание случайной величины , т.е.
или
где .

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии.
;
.
Функцией распределения называют функцию F(X), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. .
Запишем функцию распределения:

График функции распределения:

3. Вероятность выпуска бракованной микросхемы равна 0,002. Какова вероятность того, что из 2000 присланных в магазин микросхем окажется не менее 3 бракованных?
Решение:
Пусть событие А - из 2000 присланных в магазин микросхем окажется не менее 3 бракованных.
- из 2000 присланных в магазин микросхем окажется менее 3 бракованных.
.
Число элементов (n = 2000) достаточно велико, а вероятность (p = 0,002) того, что микросхема бракованая, мала, поэтому соответствующие вероятности вычислим по формуле Муавра – Лапласа:
, где .
В нашем случае .
, ; .
, ; .
, ; .

- вероятность того, что из 2000 присланных в магазин микросхем окажется не менее 3 бракованных.

4. Случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и .
Найти:
а) параметр , если известно, что математическое ожидание и вероятность ;
б) вероятность .
Решение:
а) Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины: .
.
.
.
.

б)

.

Контрольная работа № 2
1. В некотором городе по схеме собственно - случайной бесповторной выборки было обследовано 80 магазинов розничной торговли из 2500 с целью изучения объема розничного товарооборота. Получены следующие данные.
Товарооборот, у. е. Менее 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 - 100 Более 100 Итого
Число магазинов 12 19 23 18 5 3 80

Найти:
а) вероятность того, что средний объем розничного товарооборота во всех магазинах города отличается от среднего объема розничного товарооборота, полученного в выборке, не более чем на 4 у.е. (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у.е.;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема розничного товарооборота (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Решение:
Товарооборот, у. е. Менее 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 - 100 Более 100 Итого
Середина интервала,
55 65 75 85 95 105
Число магазинов,
12 19 23 18 5 3 80

660 1235 1725 1530 475 315 5940

4800 1900 0 1800 2000 2700 13200
Среднее значение вычислим по формуле:
,
где - середины интервалов;
- соответствующие им частоты;
.
.
Дисперсию вычислим по формуле:
.
- средняя квадратическая ошибка выборки.
;
а) , где .
.
.
- вероятность того, что средний объем розничного товарооборота во всех магазинах города отличается от среднего объема розничного товарооборота, полученного в выборке, не более чем на 4 у.е. (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у. е.

Доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у. е.:
или 75%.
Определяем дисперсию доли

Тогда средняя ошибка доли будет
, или 4,8%.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,98 коэффициент доверия составляет t =2,3.
, или 11%.
Границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у. е.:
,
0,75 – 0,11 0,75+0,11,
64% 86%.
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема розничного товарооборота (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Для определения объема повторной выборки, необходимо для того. Чтобы гарантировать определенную точность оценки генеральной средней, задаваемую предельной ошибкой выборки , при заданной надежности , используем формулу
.
По условию задачи доверительная вероятность равна , что соответствует , а предельная ошибка равна .
Таким образом, объем повторной выборки приблизительно будет равен
.
Зная объем повторной выборки и объем генеральной совокупности вычисляем объем бесповторной выборки по формуле:
.

2. По данным задачи 1, используя χ2 - критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – объем розничного товарооборота – распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Точечные оценки параметров нормального закона распределения:
; .
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
.
В нашем случае:
.
Рассчитаем теоретические относительные частоты:
Нормируем случайную величину Х, т.е. переходим к величине и вычислим концы интервалов ( ):
; (причем наименьшее значение Z полагают равным , а наибольшее ).
Вычислим теоретические вероятности по падания Х в интервалы ( ) по равенству (Ф(z) – функция Лапласа) .
И найдем искомые теоретические частоты .
i

1
-1,11 -0,5 -0,3665 0,1335 10,68
2 -1,11 -0,33 -0,3665 -0,1293 0,2372 18,976
3 -0,33 0,45 -0,1293 0,1736 0,3029 24,232
4 0,45 1,23 0,1736 0,3907 0,2171 17,368
5 1,23 2,00 0,3907 0,4772 0,0865 6,92
6 2,00
0,4772 0,5 0,0228 1,824
Всего: 1 80

Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить нулевою гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, нужно вычислить теоретические частоты (сделали ранее), а затем наблюдаемое значение критерия.
Найдем число степеней свободы к = s -3, где s – число групп; к = 5 - 3=2.
Расчеты запишем в таблицу:

1 12 10,68 1,32 1,742 0,163
2 19 18,976 0,024 0,001 0,000
3 23 24,232 -1,232 1,518 0,063
4 18 17,368 0,632 0,399 0,023
5 8 6,92 -0,744 0,554 0,063
=0,312

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы 2 находим 6.
Н0: генеральная совокупность распределена нормально.
Так как, < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот не значимо. Следовательно, гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе с параметрами согласуется с опытными данными. Построим на одном чертеже ги¬стограмму и соответствующую нормальную кривую: 3. Имеются следующие выборочные данные о рыночной стоимости квартир (тыс. у.е.) и их общей площади (кв. м.) 13–18 18–23 23–28 28–33 33–38 Итого: 33–49 4 2 1 7 49–65 2 6 4 1 13 65–81 1 4 9 4 1 19 81–97 3 6 3 12 97–113 1 3 5 9 Итого: 7 12 18 14 9 60 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и , и построить эмпирические линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными и существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными и ; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить стоимость квартиры общей площадью 75 кв. м. Решение: 1) Вычислим групповые средние х i и у j , построим эмпирические линии регрессии. Для каждого значения , т.е. для каждой строки корреляционной таблицы вычислим групповые средние , где - частоты пар ( ) и . Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X. Аналогично для каждого значения по формуле , где - частоты пар ( ) и . Вычисленные групповые средние поместим в последней строке корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии и . 13–18 18–23 23–28 28–33 33–38 Итого: Группо вая сред няя, Сере дины интер валов 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5 33–49 41 4 2 1 7 18,36 287 11767 49–65 57 2 6 4 1 13 22,04 741 42237 65–81 73 1 4 9 4 1 19 25,50 1387 101251 81–97 89 3 6 3 12 30,50 1068 95052 97–113 105 1 3 5 9 32,72 945 99225 Итого: 7 12 18 14 9 60 4428 349532 Групповая средняя, 50,14 59,67 72,11 85,57 96,11 108,5 246 459 427 319,5 1560 1681,75 5043 11704,5 13023,5 11342,25 42795 Где, , . Эмпирическая линия регрессии по : Эмпирическая линия регрессии по : 2) Предполагая, что между переменными и существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; Вычислим необходимые суммы: ; ; ; ; ; Итак, уравнение регрессии по : . ; . Итак, уравнение регрессии по : . ; . Из первого уравнения регрессии по следует, что при увеличении рыночной стоимости квартир на 1 тыс. у. е. их общая площадь увеличивается на 0,235 м2. Из второго уравнения регрессии по следует, что при увеличении площади квартир на 1 м2 увеличивается рыночная стоимость квартир на 2,387 тыс. у. е. Построим графики уравнений регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии: б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными и . Вычислим коэффициент корреляции по формуле: . Связь между переменными и прямая, т.к. и достаточно тесная ( достаточно близок к 1). На уровне значимости = 0,05 оценить значимость коэффициента корреляции. Нулевая гипотеза ; конкурирующая гипотеза . Наблюдаемое значение критерия: . По уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице . Поскольку - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить стоимость квартиры общей площадью 75 м2. Подставим в уравнение регрессии ; тыс. у. е. – стоимость квартиры.


Скачиваний: 2
Просмотров: 7
Скачать реферат Заказать реферат