Теория вероятности и математическая статистика

Конспект лекций по теории вероятности и математической статистике профессора Павлова.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Киевский политехнический институт


Кафедра КСОИУ



 


 


 


 


 


 


 


Конспект лекций



по дисциплине:



”Теоpия веpоятности и математическая статистика”

 


 



Преподаватель: Студент II курса


ФИВТ, гр. ИС-41


проф. Павлов А. А. Андреев А. С.




Киев - 1996 г.


Введение.


Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.


Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.


Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.


Например: испытание - подбрасывание монеты.


Результатом испытания является событие. Событие бывает:


Достоверное (всегда происходит в результате испытания);


Невозможное (никогда не происходит);


Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).


Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.


Конкретный результат испытания называется элементарным событием.


В результате испытания происходят только элементарные события.


Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.


Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.


Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.


Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.


Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.


Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.


Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.


Введем следующие обозначения:


А - событие;


w
- элементы пространства W
;


W
- пространство элементарных событий;


U - пространство элементарных событий как достоверное событие;


V - невозможное событие.


Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.


 


Операции над событиями.


1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.



2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.




4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.


Формулы де Моргана: Теория вероятности и математическая статистика и Теория вероятности и математическая статистика



5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.


События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.


C=A×
B=V


Тут V - пустое множество.


Частость наступления события.


Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W
и невозможное событие V.


Пример:


W
=(w
1, w
2, w
3)


A1=V


A2=(1)


A3=(2)


A4=(3)


A5=(1, 2)


A6=(2, 3)


A7=(1, 3)


A8=(w
1, w
2, w
3)


Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AÎ
F. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.


Частостью наступления события A в n испытаниях называется число


Теория вероятности и математическая статистика


 


Свойства частости.

Теория вероятности и математическая статистика


Частость достоверного события равна 1. n(U)=1.


Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.

Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.


Теория вероятности и математическая статистика Событие Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика


Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i¹
j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:


nA=nA1+nA2+...+nAk


Теория вероятности и математическая статистика


Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.


Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.


К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.


Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.


Аксиоматика теории вероятности.


Построение вероятностного пространства.


Последовательно строим вероятностное пространство.


Этап 1:


Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий e
. Все события из системы e
называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A Ì
e
, B Ì
e
наблюдаемы, то наблюдаемы и события Теория вероятности и математическая статистика.


Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Ì
F выполняется:

Дополнения Теория вероятности и математическая статистика


(A+B) Î
F, (A×
B) Î
F


все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре


все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре


все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.

Таким образом, систему e
мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.


Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.


Этап 2:


Каждому событию A Î
F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.

Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика


P(U)=1.


Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

Теория вероятности и математическая статистика. Если Теория вероятности и математическая статистика, то Теория вероятности и математическая статистика.


Алгебра событий называется s
- алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.


Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a³
x>
b, b¹
a.


Распространение этой алгебры на s
- алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a³
x>
b, но и расширением полей вида a>

b, a³

b.


Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.


P(A) Î
[0, 1] P(U)=1.


Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий

Теория вероятности и математическая статистика Если Теория вероятности и математическая статистика, то Теория вероятности и математическая статистика.


Теорема о продолжении меры.


Построим минимальную s
- алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s
- алгебра - это минимальная s
- алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).


Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной s
- алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.


Таким образом, продленное P(A) называется s
- аддитивной мерой.


s
- алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.


Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из s
- алгебры.


Расширение поля наблюдаемых событий на s
- алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия s
- алгебры.


Определение вероятностного пространства.


Вероятностным пространством называется тройка (W
, s
, P), где


W
- пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;


s
- s
-алгебра, заданная на W
- системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;


P - s
- аддитивная мера, т.е. s
- аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s
- алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика. P(A) - называется вероятностью наступления события A.


Вероятность достоверного события равна 1 P(W
)=1.


Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей

Теория вероятности и математическая статистика


Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика.


k - возможно бесконечное число.


Следствие:


Вероятность невозможного события равна 0.


По определению суммы имеет место неравенство W
+V=W
. W
и V несовместные события.


По третей аксиоме теории вероятности имеем:


P(W
+V)=P(Q)=P(U)=1


P(W
)+P(V)=P(W
)


1+P(V)=1


P(V)=1


Пусть W
состоит из конечного числа элементарных событий W
={E1, E2,..., Em} тогда по определению Теория вероятности и математическая статистика. Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет место Теория вероятности и математическая статистика


Пусть некоторое событие AÌ
W
состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik} Теория вероятности и математическая статистика


Доказать: Если AÌ
B, то P(B)³
P(A), B=A+C, A и C несовместны.


* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1³
P(C)³
0 - положительное число, то P(B)³
P(A).


Классическое определение вероятности.


Пусть W
состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.


Тогда достоверное событие Теория вероятности и математическая статистика m - количество равновероятных событий


Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика


Пусть произвольное событие Теория вероятности и математическая статистика Тогда Теория вероятности и математическая статистика, т.е. событие A состоит из k элементарных событий.


Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.


Условная вероятность.


P(A/B)


Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.


Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий



 


 


 


 


 


 


 


 


Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.


Теория вероятности и математическая статистика


Теория вероятности и математическая статистика



 


В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.


Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.


Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частости наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.


Условная частость Теория вероятности и математическая статистика


Теория вероятности и математическая статистика


Рассматривая AB как одно событие D имеем: Теория вероятности и математическая статистика с другой стороны Теория вероятности и математическая статистика


Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна: Теория вероятности и математическая статистика


Доказательство проведем по мат индукции.


Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)


Пусть формула верна для k-1.


Теория вероятности и математическая статистика


Введем событие B.


Теория вероятности и математическая статистика


P(A1A2...Ak-1)=P(B)


P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)×
P(AkB)


Независимые события.


Два события A и B называются независимыми, если P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) - доказать.


В этом случае вероятность наступления двух событий A и B равна P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),


при этом покажем, что P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)


События A1A2...Ak называются независимыми между собой, если вероятность их совместного наступления Теория вероятности и математическая статистика; Теория вероятности и математическая статистика. Два независимых события совместны.


* Если бы события были несовместны, то P(A/B)=0 и P(B/A)=0, т.к. они независимы, то P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B), т.е. утверждение “независимые события несовместны”, т.к. P(A)=0 и P(B)=0, то это утверждение неверно.


Формула сложения вероятностей.


Теория вероятности и математическая статистика


U - достоверное событие


Теория вероятности и математическая статистика


Покажем, что события Теория вероятности и математическая статистика несовместны.


* Если события несовместны, то Теория вероятности и математическая статистика; Теория вероятности и математическая статистика;


т.е. события несовместны.


Тогда по третей аксиоме теории вероятности Теория вероятности и математическая статистика


Теория вероятности и математическая статистика


Справедливо следующее тождество на основании (1) и закона дистрибутивности


Теория вероятности и математическая статистика


Показать самим, что все три множества попарно несовместны.


Теория вероятности и математическая статистика


На основании первой и третей аксиомы теории вероятности получаем:


Теория вероятности и математическая статистика


Имеет место тождество Теория вероятности и математическая статистика, показать самим, что Теория вероятности и математическая статистика несовместны


Теория вероятности и математическая статистика


По третей аксиоме:


Теория вероятности и математическая статистика


Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий


Теория вероятности и математическая статистика


Формула полной вероятности.


Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.


B1, B2, ..., Bk Теория вероятности и математическая статистика


Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B1A+B2A+...+BkA.


Показать, что события B1A, B2A, BkA попарно несовместны. BiABjA=BiBjAA=VAA=V


Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно Bi, т.к. B1, B2, ..., Bk образуют полную группу.


Т.к. B1, B2, ..., Bk несовместны, то по третей аксиоме теории вероятности имеем:


Теория вероятности и математическая статистика; т.е.

Теория вероятности и математическая статистика

Например: Имеются урны трех составов














1


5 урн


6 белых и 3 черных шара


2


3 урны


10 белых и 1 черный


3


7 урн


0 белых и 10 черных


Скачиваний: 2
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат