Теория вероятности и математическая статистика

Из 40 вопросов курса высшей математики студент знает 32. На экзамене ему случайным образом предлагаются два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Задание 1
Из 40 вопросов курса высшей математики студент знает 32. На экзамене ему случайным образом предлагаются два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:
а) хотя бы на один вопрос;
б) на оба вопроса?
Решение:
Для определения искомых вероятностей воспользуемся формулой классической вероятности:
,
где - число благоприятных событию исходов;
- число всевозможных исходов.
а) Пусть - событие, состоящее в том, что из двух предложенных во-просов, студент ответит на хотя бы одни из них. Противоположное событие для события состоит в том, что студент не ответит ни на один из двух вопросов.
Найдем число всевозможных исходов события . Число всевозможных исходов равно числу сочетаний из 40 элементов по 2, т.е.
.
Найдем число благоприятных исходов события . Студент не знает вопросов. Значит, число благоприятных исходов событию равно:
.
Следовательно, вероятность события равна:

б) Пусть - событие, состоящее в том, что студен ответит на оба вопроса.
Число благоприятных исходов события равно:
.
Число всевозможных исходов равно:
.
Следовательно, вероятность события равна:

Ответ: а) б)

Задание 2
При высаживании рассады помидоров только 80% приживается. Найти вероятность того, что из шести высаженных растений приживется не менее пяти.
Решение:
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Бер-нулли:
.
В нашем случае . Вероятность того, что растение приживется, равна . Тогда .
Следовательно, искомая вероятность равна:
.
Ответ: .

Задание 3
Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течении часа:
а) купят газету 90 человек;
б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно).
Решение:
а) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
,
где ;
.
В нашем случае вероятность наступления события (человек купит газе-ту) равна , тогда .
Вероятность того, что из 400 человек газету купят 90, равна:

б) Для определения искомой вероятности воспользуемся теоремой Му-авра-Лапласа:

где - функция Лапласа.
В нашем случае: Вероятность того, что человек не купит газету равна
Тогда
Следовательно, имеем:

Ответ: а) ; б) .

Задание 4
Пункт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет 0,2, 0,3 и 0,6, соответственно.
Составить закон распределения случайной величины – числа объектов, с которых поступит сигнал.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величи-ны.
Решение:
Случайная величина может принимать четыре значения: - сиг-нал не поступит ни с одного объекта, - сигнал поступит с одного объекта, - сигнал поступит с двух, трех объектов, соответственно.
Найдем вероятности каждого значения СВ .
Пусть - сигнал поступит с -го объекта соответственно. Проти-воположные события - сигнал не поступит с -го объекта.
По условию задачи:
.
Тогда
.
События - независимые события.
Следовательно, имеем:

Следовательно, ряд распределения дано СВ имеет вид:
xi 0 1 2 3
рi 0,224 0,488 0,252 0,036
Контроль: .
Математическое ожидание данной СВ определяется по формуле:

Дисперсию данной случайной величины определим по формуле:

Ответ: .

Задание 5
Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найти:
а) параметр ;
б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ;
в) функцию распределения и построить ее график.
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что слу-чайная величина принимает значения на промежутке .
Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.
Решение:
Из свойств плотности вероятностей имеем:

Следовательно,
.
Значит, плотность распределения имеет вид:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

Дисперсия равна:

Функцию распределения найдем по ее связи с плотностью вероят-ностей:
.
При имеем .
При имеем

При имеем

Следовательно, функция распределения имеет вид:

Построим график функции :

Неравенство Чебышева имеет вид:
.
Необходимо оценить вероятность попадания CВ в интервал , т.е.
.
Учитывая то, что , то это неравенство можно записать в виде:
.
Следовательно, имеем:
.
Таким образом, вероятность попадания данной случайной величины в интервал больше .
Найдем вероятность попадания данной CВ в интервал . Воспользуемся формулой:
.
Следовательно, имеем:
.
Неравенство Чебышева пользуются в тех случаях, когда для случайной величины не известны все параметры. Тогда пользуясь им можно приблизительно показать поведение этой случайной величины.
Формула попадания случайной величины в заданный интервал исполь-зует точные сведения о случайной величине, т.е. функцию распределения, которая зависит от плотности распределения – главного параметра любой CВ. Поэтому эта формула дает точный результат.
При использовании неравенства Чебышева мы показали, что искомая вероятность больше значения . При точном подсчете мы нашли точное значение этой вероятности и убедились, что это значение действительно больше числа .
Ответ: а) ; б) в)
.


Скачиваний: 1
Просмотров: 8
Скачать реферат Заказать реферат