Теория вероятности и математическая статистика

Ребенок играет с карточками, на каждой из которых написана одна из букв: С, Х, Р, А, А, А. Определить вероятность того, что мы сможем прочесть слово «САХАРА» при случайном расположении им карточек в ряд

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа

1. Ребенок играет с карточками, на каждой из которых написана одна из букв: С, Х, Р, А, А, А. Определить вероятность того, что мы сможем прочесть слово «САХАРА» при случайном расположении им карточек в ряд.

Решение:

Вероятность того, что первой карточкой окажется карточка с буквой «С» по классическому определению вероятности равна

Далее, вероятность того, что второй карточкой окажется карточка с буквой «А» по классическому определению вероятности равна

Вероятность того, третьей карточкой окажется карточка с буквой «Х» по классическому определению вероятности равна

Вероятность того, что четвертой карточкой окажется карточка с буквой «А» по классическому определению вероятности равна

Вероятность того, что пятой карточкой окажется карточка с буквой «Р» по классическому определению вероятности равна

Вероятность того, что последней карточкой окажется карточка с буквой «А» по классическому определению вероятности равна

Пусть событие «ребенок из карточек сложил слово САХАРА». Вероятность этого события найдем, используя теорему умножения вероятностей:

Ответ:

2. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит конкурс, согласно которому каждая десятая бутылка напитка, является призовой. Составить закон распределения числа призовых из четырех приобретенных покупателей бутылок.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить функцию распределения.

Решение:

Случайная величина число призовых бутылок из четырех приобретенных, может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4.
Используя формулу Бернулли

найдем соответствующие вероятности.
В нашем случае:

Вычисляем:

Запишем закон распределения:
0 1 2 3 4
0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию:

Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения:

Ответ: .

3. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины ξ, если известно, что и
Построить кривую распределения этой случайной величины и найти ее максимум.

Решение:

Для нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением , вероятность попадания в интервал можно определить по формуле:

где функция Лапласа.
Из условия задачи имеем:

значит,

из таблицы значения функции Лапласа, учитывая, что функция нечетная, находим: . Тогда

Из таблицы значения функции Лапласа определяем:

Также из условия следует:

из таблицы значения функции Лапласа находим: . Тогда

Из таблицы значения функции Лапласа определяем:

Чтобы найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины ξ, составим и решим систему уравнений:

Построим кривую распределения этой случайной величины:

Максимум находится в точке и равен:

4. В районном отделении Сбербанка хранят вклады 80% работающих на заводе. Какова вероятность того, что из 900 наудачу выбранных работников завода в этом отделении Сбербанка хранят вклады:
а) от 600 до 700 человек;
б) 750 человек?

Решение:

а) Для определения искомой вероятности используем интегральную формулу Муавра-Лапласа:

где – функция Лапласа.
По условию задачи имеем:

Тогда получим:

так как функция Лапласа нечетная, то

Используя таблицу значений функции Лапласа, находим:

Следовательно,

б) используем локальную теорему Муавра-Лапласа

где – функция Гаусса.
В нашем случае имеем:

Тогда получим:

Используя таблицу значений функции Гаусса, находим:

Следовательно,

Ответ: а) 0,0475; б) 0,00146.

5. Сумма вклада клиента сберегательного банка – это случайная величина с математическим ожиданием 15 тыс. руб. и дисперсией 0,4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того. что сумма вклада наудачу взятого вкладчика будет заключена в границах от 14 тыс. руб. до 16 тыс. руб.

Решение:

Используем формулу:

где функция Лапласа.
По условию задачи:

Находим:

по таблице значений функции Лапласа находим:
тогда искомая вероятность равна:

Ответ: 0,882.

Контрольная работа № 2.

1. С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования представлены в таблице:

Время обслуживания,
мин. Менее 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 Более 12 Итого
Число клиентов 6 10 21 39 15 6 3 100

Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,9946 будет заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда;
б) вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величины);
в) объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0,9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10 % (по абсолютной величине).

Решение:

Найдем середины интервалов и перейдем к дискретному ряду:

1 3 5 7 9 11 13 Итого
6 10 21 39 15 6 3 100

Для удобства расчетов числовых характеристик составим расчетную таблицу:

1 1 6 6 184,15
2 3 10 30 125,32
3 5 21 105 49,80
4 7 39 273 8,25
5 9 15 135 90,77
6 11 6 66 119,35
7 13 3 39 125,19
∑ 100 654 702,84
Находим:
Выборочная средняя:

Дисперсия:

а) интервальные оценки для средней находятся по формулам при объеме выборки

где – коэффициент доверия; для доверительной вероятности 0,9946 он равен 2,78 (из таблицы значений функции Лапласа), тогда

Границы, в которых с вероятностью 0,9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда, находим из следующего двойного неравенства:

подставляем значения:

С вероятностью 0,9946 можно ожидать, среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда составит от 5,803 до 7,277 минут.

б) находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли. С учетом того, что число клиентов пенсионного фонда очень велико, объем генеральной совокупности , поэтому формула принимает вид (для бесповторной выборки):

где выборочная доля клиентов в выборке, время обслуживания которых составило меньше 6 минут:

Тогда:

Вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более, чем на (по абсолютной величине) по формуле:

в) Для доверительной вероятности 0,9907 коэффициент доверия равен: ;
,
Объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0,9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10 %, составит:

2. По данным задачи 1, используя критерий 2-Пирсона, на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина
ξ – время обслуживания клиентов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Интервал
(- ; 2)
0,0436 6 4,36 0,617
(2; 4) 0,1249 10 12,49 0,496
(4; 6) 0,2522 21 25,22 0,706
(6; 8) 0,2881 39 28,81 3,604
(8; 10) 0,1961 15 19,61 1,084
(10; 12) 0,0754 6 7,54 0,315
(12; +∞) 0,0197 3 1,97 0,539
∑ 1 100 100 7,360

Здесь

где – функция Лапласа.
Находим:

Поскольку

а из таблицы критических точек распределения для числа степеней свободы и уровней значимости

то

Расчетное значение критерия Пирсона меньше табличного, следовательно, случайная величина Х – процент снижения затрат - распределена по нормальному закону с параметрами а = 6,54 и σ = 2,65.

Рис.1. Гистограмма эмпирического распределения и нормальная кривая

3. Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства и росту производительности труда представлено в таблице:

5 – 9 9 – 13 13 – 17 17 – 21 21 – 25 Итого
15 – 21 3 2 1 6
21 – 27 1 2 3 2 8
27 – 33 2 7 3 12
33 – 39 2 5 8 15
39 – 45 2 2 1 5
45 – 51 2 2 4
Итого 4 8 18 17 3 50

Необходимо:
1) Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными и существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными и ;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.

Решение:

Найдем середины интервалов и запишем в таблицу:

5 – 9 9 – 13 13 – 17 17 – 21 21 – 25 Итого
7 11 15 19 23
15 – 21 18 3 2 1 6
21 – 27 24 1 2 3 2 8
27 – 33 30 2 7 3 12
33 – 39 36 2 5 8 15
39 – 45 42 2 2 1 5
45 – 51 48 2 2 4
Итого 4 8 18 17 3 50

1. Найдем груповые средние по формулам:

середины соответствующих интервалов.

Полученные значения занесем в таблицу:

7 11 15 19 23 Групповые
средние по

18 3 2 1 9,67
24 1 2 3 2 14
30 2 7 3 15,33
36 2 5 8 16,6
42 2 2 1 18,2
48 2 2 21
Групповые
средние по
19,5 27 31,33 35,65 46

Строим эмпирические линии регрессии:

2. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость, найдем уравнения прямых регрессии.
Вычисляем:

Коэффициент ковариации:

Вычислим коэффициент регрессии по и составим уравнение этой зависимости:

Линия регрессии по :

подставив найденные значения, получим:

При увеличении степени автоматизации на 1% производительность труда вырастает в среднем на 0,33%.
Вычислим коэффициент регрессии по и составим уравнение этой зависимости:

Линия регрессии по :

подставив найденные значения, получим:

При увеличении производительности труда на 1% степень автоматизации производства вырастает в среднем на 1,37%.

Рис.3. Эмпирические линии регрессии и прямые регрессии
б) находим коэффициент корреляции:

Оцениваем коэффициент значимости корреляции:

По таблице значений критерия Стьюдента для уровня значимости находим . Так как , коэффициент значимости значительно отличается от нуля, значит, связь тесная и прямая.

в) по найденному уравнению регрессии оцениваем рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%:

Можно ожидать, что при увеличении степени автоматизации производства до 43% производительность труда увеличится на 19,18%.


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат