Теория вероятности и математическая статистика

В партии из 22 лотерейных билетов 13 выигрышных. Куплено 11 билетов.
Какова вероятность, что среди них 6 выигрышных?

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа
1 В партии из 22 лотерейных билетов 13 выигрышных. Куплено 11 билетов.
Какова вероятность, что среди них 6 выигрышных?
2 В правом и левом карманах имеются по три монетки в 10 коп и по четыре монетки в 5 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывается 5 монет.
Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты достоинством в 10 коп.
3 Вероятность поражения мишени стрелком равна p = 0,7.
Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена ровно 1500 раз.
4 Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию A и 15 тыс. руб. в компанию B. Компания A обещает 20% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,1. Компания B обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,05.
Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.
5 Случайная величина X задана функцией распределения

Найти постоянную c, математическое ожидание квадрата случайной величины X и дисперсию случайной величины X.
Контрольная работа №2
1 Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования представлены в таблице:
Число патронов (шт.) Менее 200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 Более 700 Итого
Число спортсменов (чел) 4 20 57 65 31 15 8 200
Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена;
б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов за тренировку, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине);
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
2 По данным задачи 1, используя критерий -Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина X-время выполнения домашнего задания - распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
3 Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результату предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.
Средний
балл 4,6 4,3 3,8 ,38 4,2 4,3 3,8 4,0 3,1 3,9
Число
часов 25 22 9 15 15 30 20 30 10 17
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости.
Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при .
Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Если студент занимается самостоятельно по 12 ч в неделю, то каков прогноз его успеваемости?

Контрольная работа 1

Задание 1.
В партии из 22 лотерейных билетов 13 выигрышных. Куплено 11 билетов.
Какова вероятность, что среди них 6 выигрышных?

Решение.
Число способов которыми можно выбрать 11 билетов из 22, равно числу сочетаний из 22 по 11 – С_22^11 , а число способов которыми можно выбрать выигрышные билеты, равно:
С_13^6 С_9^5.
Итак, n=C_22^11=22!/11!(22-11)!=39916800 ;
m=C_13^6 C_9^5=(13!*9!)/(6!(13-6)!*5!(9-5)!)=216216;
Тогда p=m/n=216216/39916800=0,0054.
р=0,54.

Задание 2.
В правом и левом карманах имеются по три монетки в 10 коп и по четыре монетки в 5 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывается 5 монет.
Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты достоинством в 10 коп.

Решение.
В правом кармане после перекладывания в левый 5 монет могут остаться:
- 2 монеты в 10 коп. что соответствует случаю (гипотезе) H1 наличие в левом кармане четырех монет в 10 коп. и восьми монет в 5 коп.
- по одной монете в 10и5 коп. что соответствует случаю (гипотезе) H2 наличие в левом кармане 5 монет в 10 коп. и 7 монет в 5 коп.
- 2 монеты в 5 коп. Что соответствует случаю (гипотезе) H3 наличие в левом кармане 6 монет в 10 коп. и 6 монет в 5 коп.
Пусть А- искомое событие (после перекладывания из левого кармана извлечена монета достоинством в 10 коп. )
Определим вероятность гипотез:
Р(Н_1 )=(С_3^1 С_4^4)/(С_7^5 )=3!5!2!/2!7!=1/7
Р(Н_2 )=(С_3^2 С_4^3)/(С_7^5 )=3!4!5!2!/2!3!7!=4/7
Р(Н_3 )=(С_3^3 С_4^2)/(С_7^5 )=4!5!2!/2!2!7!=2/7
Определим далее условные вероятности:
Р(А/Н_1 )=4/12
Р(А/Н_2 )=5/12
Р(А/Н_3 )=6/12
Отсюда по формуле полной вероятности получим:
Р(А)=∑_(i=1)^3▒█(Р(Н_i )*P(A/H_i )=1/7*4/12+4/7*5/12+2/7*6/12=36/84=3/7@ )
Итак, Р(А)=3/7

Задание 3.
Вероятность поражения мишени стрелком равна p = 0,7.
Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена ровно 1500 раз.
Решение:

Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

По таблице значений функции Лапласа находим

Задание 4.
Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию A и 15 тыс. руб. в компанию B. Компания A обещает 20% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,1. Компания B обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,05.
Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.
Решение:
Случайная величина Х – общая сумма прибыли (убытка).
Возможные значения случайной величины:
0 – обе компании лопнули;
2 – первая принесла прибыль 20% (20% от 10 тыс. – 2 тыс. руб.), вторая лопнула;
1.5 – первая лопнула, вторая принесла прибыль 10% (10% от 15 тыс. – 1,5 тыс.);
3.5 – обе компании принесли прибыль (2+1,5=3,5 тыс. руб.).
Вероятность того, что случайная величина Х приняла значение равное 3,5:
P(Х=3,5)=0,9∙0,95=0,855.
Вероятность того, что случайная величина Х приняла значение равное 1,5:
P(Х=1,5)=0,1∙0,95=0,095.
Вероятность того, что случайная величина Х приняла значение равное 2:
P(Х=2)=0,9∙0,05=0,045.
Вероятность того, что случайная величина Х приняла значение равное 0:
P(Х=0)=0,1∙0,05=0,005.
Ряд распределения имеет вид:
Х 0 1,5 2 3,5
p 0,005 0,095 0,045 0,855
Ожидаемая доходность – математическое ожидание Х
Уровень риска – дисперсия Х

Задание 5.
Случайная величина X задана функцией распределения

Найти постоянную c, математическое ожидание квадрата случайной величины X и дисперсию случайной величины X.

Решение:

- плотность вероятности
По определению функции плотности

Следовательно

То есть c = 1.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:
,
Тогда

так как показательная функция стремится к нулю быстрее, чем растет степенная.
Вычислим

так как показательная функция стремится к нулю быстрее, чем растет степенная и используя уже вычисленный интеграл
Тогда дисперсия:


Контрольная работа 2
Задание 1.
Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования представлены в таблице:
Число патронов (шт.) Менее 200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 Более 700 Итого
Число спортсменов (чел) 4 20 57 65 31 15 8 200
Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена;
б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов за тренировку, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине);
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
а) Вычислим сначала необходимые числовые характеристики.
х1 = 150; х2 = 250; х3 = 350; х4 = 450; х5 = 550; х6 = 650; х7 = 750 - середины интервалов
xi ni xini xi2ni
150 4 600 90000
250 20 5000 1250000
350 57 19950 6982500
450 65 29250 13162500
550 31 17050 9377500
650 15 9750 6337500
750 8 6000 4500000
Итого 200 87600 41700000

- среднее значение
- дисперсия
Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки

t = 1.96 – по таблице функции Лапласа
Искомый доверительный интервал тогда

б) Выборочная доля спортсменов, расходующих более 500 патронов за тренировку

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли

Искомая вероятность тогда

в) Учитывая, что  = 2Ф0(t) = 0,9876 находим t = 2,5

, т.е. объем выборки 316 человек.

Задание 2.
По данным задачи 1, используя критерий -Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина X-количество патронов для тренировки - распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:
Выдвигается гипотеза Н0: случайная величина Х – количество патронов для тренировки – распределена нормально с параметрами а = 438 и σ2 = 16656.
Будем пользоваться критерием Пирсона.
Поскольку есть интервалы, в которые попало менее 5 значений, то первые два интервала надо объединить.

yi+1 ni
менее 300 24
300-400 57
400-500 65
500-600 31
600-700 15
Более 700 8
Перейдем к новой случайной величине и вычислим концы интервалов , причем наименьшее значение положим равным , а наибольшее . Получим:

zi zi+1 Ф(zi) Ф(zi+1)
ni

-1,06929 0 0,14247 28,4941 24 0,708811
-1,06929 -0,29444 0,14247 0,38421 48,348 57 1,548299
-0,29444 0,480404 0,38421 0,68453 60,06387 65 0,405658
0,480404 1,255248 0,68453 0,895306 42,15518 31 2,951902
1,255248 2,030093 0,895306 0,978826 16,70415 15 0,173857
2,030093
0,978826 1 4,234709 8 3,347909
сумма 9,136436
Находим теоретические частоты , где , а Ф(x) – функция Лапласа (значения находим по таблице).
Находим наблюдаемое значение статистики
По таблице квантилей распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находим критическое значение
Поскольку , то нулевая гипотеза отклоняется, т.е. распределение нельзя считать нормальным на уровне значимости .

Задание 3.
Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результату предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.
Средний
балл 4,6 4,3 3,8 338 4,2 4,3 3,8 4,0 3,1 3,9
Число
часов 25 22 9 15 15 30 20 30 10 17
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости.
Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при .
Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Если студент занимается самостоятельно по 12 ч в неделю, то каков прогноз его успеваемости?
Решение:
Исходные данные:

Можно предположить, что между признаками линейная зависимость.
Находим коэффициент корреляции по формуле используя таблицу
уi хi yi2 xi2 xiyi
4,6 25 21,16 625 115
4,3 22 18,49 484 94,6
3,8 9 14,44 81 34,2
3,8 15 14,44 225 57
4,2 15 17,64 225 63
4,3 30 18,49 900 129
3,8 20 14,44 400 76
4 30 16 900 120
3,1 10 9,61 100 31
3,9 17 15,21 289 66,3
сумма 39,8 193 159,92 4229 786,1

- среднее количество часов на подготовку
- средний балл на экзамене

Тогда

Так как , то это говорит о присутствии прямой связи между признаками Х и У (не сильной).
Проверим гипотезу об отсутствии корреляции на уровне 0,05.
H0={R=0}
H1={R 0}

Для проверки гипотезы используем статистику
Находим наблюдаемое значение этой статистики:

По таблице квантилей распределения Стьюдента находим критическое значение этой статистики, соответствующее двухсторонней критической области и уровню значимости 0,05.
.
Таким образом, критическая область имеет вид:
Поскольку наблюдаемое значение попадает в критическую область, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости 0,05, т.е. можно считать, что между исследуемыми признаками существует зависимость.
Находим уравнение регрессии:

Коэффициент показывает, что при увеличении времени подготовки к экзамену на 1 час, студент получает балл на экзамене в среднем на 0,0356 больше.

Коэффициент показывает, что если не готовиться к экзамену совсем, то можно получить 3,29 баллов на экзамене.
Таким образом, уравнение регрессии:

Если студент занимается самостоятельно по 12 ч в неделю, то прогноз его успеваемости
, т.е. можно рассчитывать только на 3,72 балла на экзамене.


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат