Теория вероятности и математическая статистика

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий — с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

№-1
Задача:
Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий - с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
Решение:
Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6 (событие А1),
второй – с вероятностью 0,7 (событие А2), а третий - с вероятностью 0,75 (событиеА3). События независимые, равновозможные, исход испытаний не меняется.
Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением
вероятностей противоположных событий :

По условию задачи , ,
,
где - вероятность событий, противоположных ,
тогда
следовательно,
Ответ: вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу, равна 0,97.

№-2
Задача:
Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов привозят товар, не пригодный к употреблению.
Найти вероятность того, что
а) хотя бы два судна привезут качественный товар;
б) ни одно судно не привезет качественный товар.
Решение:
предположим что –
событие – когда судно привезет качественный товар
и событие - когда судно не привезет качественный товар.
Вероятность события равна 1%, т.е.
Тогда вероятность события равна 99%, т.е.
Условие, что хотя бы два судна привезут качественный товар:
а) - событие, состоящее в том, что два судна из трех привезут качественный товар;
- событие, состоящее в том, что все три судна привезут качественный товар.

Условие, что ни одно судно не привезет качественный товар:
б) - событие, состоящее в том, что все три судна не привезут качественный товар.

Ответ: а) вероятность того, что хотя бы два судна привезут качественный товар - равна 0,98;
б) вероятность того, что ни одно судно не привезет качественный товар – равна 0,000001 (достаточно мала).

№-3
В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:
а) два студента;
б) не менее пяти студентов.
Решение:
а) Дано:
Найти -?
Событие А – состоит в том,что 2студента из 100 сдадут экзамен на отлично. По теореме Пуассона - если вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю ( при неограниченном увеличении числа испытаний , причем произведение стремиться к постоянному числу , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

В данной задаче вероятность - постоянна и мала, число испытаний - велико и число - незначительно, следовательно, из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:
- функция Пуассона.
, так как а - то для решения задачи применима таблица значения функции Пуассона, где при данных значениях , т.е вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два
студента равна - 0,0842.

б) Дано:
Найти -?
Событие А – что 5 или больше студентов сдадут экзамен на отлично. Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов равна:

Указанную вероятность найти проще, если рассмотреть решение задачи через противоположное событие, т.е. из 100 выбранных студентов 4 студента сдадут экзамен по математике на оценку ниже чем «отлично».

По таблице значений функции Пуассона при и от 0 до 4, находим :

0 1 2 3 4

0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755
Тогда,
т.е. вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, равна – 0,5595.

Ответ:
а) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два студента равна - 0,0842.
б) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, равна – 0,5595.

№-4
Законы распределения случайных величин и заданы таблицами:
:

0 1

? 0,4

:

-1 2 3

0,3 ? 0,5

Найти:
а) вероятности и ;
б) закон распределения случайной величины ;
в) дисперсию .
Решение:
а) Учитывая, что сумма всех вероятностей для каждого распределения случайных величин равна 1-

Находим вероятности и

Соответственно:
:

0 1

0,6 0,4
:

-1 2 3

0,3 0,2 0,5

б) Для удобства нахождения всех значений разности и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения разности , а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и :

-1 2 3

0,3 0,2 0,5

1 -2 -3
0 0,6 0,18 0,12 0,3
2 -1 -2
1 0,4 0,12 0,08 0,2

Разностью Z случайных величин X-Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида - , где с вероятностями .
Если случайные величины и независимы, т.е. независимы любые события = и = то по теореме умножения вероятностей для независимых событий =
Так как среди шести значений имеются два повторяющихся, то соответствующие их вероятности складываются по теореме сложения вероятностей
В результате получим распределение

-3 -2 -1 1 2

0,3 0,32 0,08 0,18 0,12

Убеждаемся в том, что условие выполнимо - 0,3+0,32+0,08+0,18+0,12=1

в) Для нахождения дисперсии ,
Вероятность суммы конечного числа независимых событий равна сумме вероятностей этих событий: , следовательно, сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна: .
Составим таблицу:

0,3 0,32 0,08 0,18 0,12

-3 -2 -1 1 2
*
-0,9 -0,64 -0,08 0,18 0,24

9 4 1 1 4
*
2,7 1,28 0,08 0,18 0,48

-0,9-0,64-0,08+0,18+0,24= -1,2
-1,2
1,44
2,7+1,28+0,08+0,18+0,48 = 4,72
4,72
4,72 – 1,44 = 3,28
3,28
Дисперсия случайной величины 3,28.

Ответ: Вероятность =0,6; вероятность =0,2; 3,28

№-5
Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами и . Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.
Решение:
Дано:

Найти:
Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если её плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины , распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т.е. , а её дисперсия – параметру , т.е.
Вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону, в интервал , равна
,
где , .
тогда,

Значения функции Лапласа определяем по таблице II приложения и подставляем в формулу:

Ответ: вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600, равна 0,3643.

Список литература
1Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика». Учебник для вузов. Москва: изд-во ЮНИТИ, 2003.
2Карасёв А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика». Учебник для вузов. Москва: изд-во Статистика 1979.


Скачиваний: 2
Просмотров: 2
Скачать реферат Заказать реферат