Теория вероятностей

Данные об урожайности зерновых культур в некотором регионе получены с помощью собственно-случайной бесповторной выборки. Результаты обследования 100 предприятий из 1000 при¬ведены в таблице

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа

Задача 1.
Данные об урожайности зерновых культур в некотором ре¬гионе получены с помощью собственно-случайной бесповторной выборки. Результаты обследования 100 предприятий из 1000 при¬ведены в таблице:

Урожай-ность, ц/га 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Итого
Число предприя-тий 6 9 19 29 21 9 5 2 100
Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,9643 заключена средняя
урожайность зерновых культур для всех предприятий региона;
б) вероятность того, что доля всех предприятий, урожайность зер-новых культур в которых менее 50 ц/га, отличается от доли таких пред¬
приятий в выборке не более, чем на 5% (по абсолютной величине);
в) объем выборки, при котором границы для средней урожай-ности, найденные в пункте а), можно гарантировать с вероятнос¬тью 0,9807.
Решение
а) Находим выборочную среднюю .

- середины интервалов
(25*6+35*9+45*19+55*29+65*21+75*9+85*5+95*2)/100=55.7
Найдем выборочную дисперсию
= ((25-55.7)2*6+(35-55.7)2*9+(45-55.7)2*19+(55-55.7)2*29+
+(65-55.7)2*21+(75-55.7)2*9+(85-55.7)2*5+(95-55.7)2*2)/100=242.51
Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9643 заключена средняя урожайность зерновых культур для всех предприятий региона.
По таблицам значений функции Лапласа находим: 2Ф(t)=0,9643 2.1.
Интервальные оценки для средней находятся по формулам:

Здесь N =1000 – объем генеральной совокупности.
Получаем:
=1.4774
2.1*1.4774=3.103
55.7-3.103 55.7+3.103
52.597 58.803
Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,9643 заключено среднее число набранных баллов всех участников соревнований, cоставляют [52.597, 58.803].
б) Выборочная доля всех предприятий, урожайность зерновых в которых менее 50 ц/га, составляет w=(6+9+19)/100=0.34.
Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:
- для бесповторной выборки
0.0449
Находим доверительную вероятность того, что доля всех предприятий, урожайность зерновых в которых менее 50 ц/га, в генеральной совокупности отличается от доли таких предприятий в выборке не более чем на 0.05 (по абсолютной величине)
=2Ф(1.114)=0.7457
в) γ=0.9807. Найдем значение функции Лапласа tγ такое, что Ф(tγ)= γ/2=0.49035
tγ=2.34.
В п. а установили, что границы составляют 3.103, откуда имеем

Из последнего соотношения находим объем выборки n=122.

Задача 2.
По данным задачи 1, используя х2-критерий Пирсона, на уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная вели¬чина X — урожайность зерновых культур — распределена по нор¬мальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпи¬рического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение
Вычислим теоретические вероятности pi попадания в i-й интервал нормально распределенной СВ с параметрами а=55.7, σ= =15.57. Поскольку на интервале [90; +) находится менее 5 выборочных значений объединим соседние интервалы [80; 90) и [90; +)в один.

.
Рассчитаем вероятности pi, учитывая, что Ф(-х)=-Ф(х).

Интервалы ni pi npi ni-npi (ni-npi)2 (ni-npi)2/ npi
(-∞,30) 6 0,0494 4,9409 1,0591 1,1217 0,2270
[30,40) 9 0,1072 10,7234 -1,7234 2,9702 0,2770
[40,50) 19 0,2005 20,0506 -1,0506 1,1038 0,0550
[50,60) 29 0,2516 25,1643 3,8357 14,7129 0,5847
[60,70) 21 0,2120 21,2012 -0,2012 0,0405 0,0019
[70,80) 9 0,1199 11,9898 -2,9898 8,9390 0,7455
[80,+ ∞) 7 0,0593 5,9298 1,0702 1,1453 0,1931

100 1,0000 2,0843
Вычисляем 2.0843. Находим табличное значение 9,5, где , k=7 – число интервалов, l=2 – число параметров распределения.
Т.к. , то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении СВ – числа набранных баллов с параметрами а=55.7, σ =15.57.

Графическое изображение исходных данных (гистограмма) и нормальной кривой подтверждает гипотезу о нормальном законе распределения.

Задача 3.
Распределение 80 литейных цехов машиностроительных заво¬дов по степени компьютеризации процессов производства X (%) и производственным затратам Y (млн руб.) представлено в таблице:
У
Х
х
У
Х 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 Итого
10-20 2 4 2 8
20-30 1 5 3 9
30-40 2 7 1 13
40-50 4 2 10 2 18
50-60 1 3 11 2 17
60-70 2 8 5 15
Итого 7 15 32 20 6 80
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние х~ и у,, построить эмпиричес¬кие линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует ли¬нейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики mi
одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо¬мическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
а = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и на¬
правлении связи между переменными X и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить
средний процент компьютеризации процессов производства в це¬хах машиностроительных заводов с производственными затрата¬
ми 8 млн. руб.
Решение
1. Находим групповые средние по формулам:
, j=1,..5; , i=1,..,6
xi, yj – середины соответствующих интервалов
xi=(15, 25, 35, 45, 55, 65)
yj=(5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5)
Групповые средние:
1=(45*4+55*1+65*2)/7=52.143
2=(35*2+45*2+55*3+65*8)/15=56.333
3=(15*2+25*1+35*3+45*10+55*11+65*5)/32=48.125
4=(15*4+25*5+35*7+45*2+55*2)/20=31.5
5=(15*2+25*3+35*1)/6=23.333
1=(7.5*2+8.5*4+9.5*2)/8=8.5
2=(7.5*1+8.5*5+9.5*3)/9=8.722
3=(6.5*2+7.5*3+8.5*7+9.5*1)/13=8.038
4=(5.5*4+6.5*2+7.5*10+8.5*2)/18=7.056
5=(5.5*1+6.5*3+7.5*11+8.5*2)/17=7.324
6=(5.5*2+6.5*8+7.5*5)/15=6.7
2. а) Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:
=15*8+25*9+35*13+45*18+55*17+65*15=3520
152*8+252*9+352*13+452*18+552*17+652*15=174600
=5.5*7+6.5*15+7.5*32+8.5*20+9.5*6=603
5.52*7+6.52*15+7.52*32+8.52*20+9.52*6=4632
5.5*(45*4+55*1+65*2)+6.5*(35*2+45*2+55*3+65*8)+7.5*(15*2+25*1+35*3+45*10+55*11+65*5)+8.5*(15*4+25*5+35*7+45*2+55*2)+9.5*(15*2+25*3+35*1)=25735
3520/80=44
603/80=7.5375
174600/80-442=246.5
4632/80-7.53752=1.086
25735/80-44*7.5375= -9.9625
-9.9625/246.5= -0.0404
-9.9625/1.086= -9.173
Уравнения регрессии

Получаем искомые уравнения регрессии.
Уравнение регрессии у по х: yx= -0.0404x+9.316
Коэффициент byx показывает, что при увеличении степени компьютеризации производства на 1% производственные затраты в среднем уменьшаются на 0,0404 млн.руб.
Уравнение регрессии х по у: xy= -9.173y+113.14
Коэффициент bxу показывает, что при увеличении производственных затрат на 1 млн.руб. степень компьютеризации производства в среднем уменьшается на 9.173%.
Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

б) Находим коэффициент корреляции радикал берем со знаком +, т.к коэффициенты и положительны.
r = - =0.609
Оценим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости α=0.05.
Найдем статистику t-критерия по формуле
=6.78
По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы k= n-2=80-2= 78 находим =1,99

Т.к.


Скачиваний: 1
Просмотров: 1
Скачать реферат Заказать реферат