Теория вероятностей. Задачи

Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа
1. Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель. Найти вероятность того, что охотник:
а) попадет в дичь при третьем выстреле; б) произведет все три выстрела.
Решение:
а) Пусть событие А – охотник попадет в цель при третьем выстреле. По условию задачи р1=0,8, р2=0,6 р3=0,4, найдем обратные вероятности: q_1=1-p_1=1-0,8=0,2; q_2=1-p_2=1-0,6=0,4; q_3=1-p_3=1-0,4=0,6.
Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий [1, стр. 38] P(A)=q_1∙q_2∙p_3=0,2∙0,4∙0,4=0,032.
б) Пусть событие B – охотник произведет все три выстрела, то есть он промахнется первыми двумя и попадет или не попадет третьим. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы умножения вероятностей независимых событий, найдем вероятность этого события:
Тогда P(B)=q_1∙q_2∙p_3+q_1∙q_2∙q_3=0,2∙0,4∙0,4+0,2∙0,4∙0,6=0,08.
2. В партии из 8 деталей 6 деталей – стандартные. Наугад отбираются две детали.
Составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных.
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.
Решение:
Рассмотрим случайную величину  – число стандартных деталей среди отобранных. Очевидно, что такая случайная величина может принимать следующие возможные значения: 0, 1, 2.
Для составления закона распределения вычислим соответствующие возможным значениям вероятности.
Событие (=0) означает, что среди отобранных деталей 0 стандартных. Значит из 6 стандартных деталей выбрали 0, а из 8-6=2 нестандартных – 2. По классическому определению вероятности:
P("" =0)=(С_6^0∙С_2^2)/(С_8^2 )=(6!/0!(6-0)!∙2!/2!(2-0)!)/(8!/2!(8-2)!)=1/28=0,036
Событие (=1) соответствует тому, что среди отобранных деталей одна стандартная. Значит из 6 стандартных деталей выбрали 1, а из 8-6=2 нестандартных – 1. По классическому определению вероятности:
P("" =1)=(С_6^1∙С_2^1)/(С_8^2 )=(6!/1!(6-1)!∙2!/1!(2-1)!)/(8!/2!(8-2)!)=12/28=0,429
Аналогично вычисляем вероятность события (=2):
P("" =2)=(С_6^2∙С_2^0)/(С_8^2 )=(6!/2!(6-2)!∙2!/0!(2-2)!)/(8!/2!(8-2)!)=15/28=0,535
Итак, запишем закон распределения в виде таблицы:
x_i 0 1 2
p_i 0,036 0,429 0,535
:

Проверим выполнение основного свойства закона распределения:
0,036+0,429+0,535=1
2) Найдем функцию распределения на каждом промежутке.
Для любого х, принадлежащему промежутку (- ; 0] , по определению функции распределения следует, что F(x)=P("" 2 все возможные значения случайной величины , будут меньше любого х, и, таким образом, событие ("" 2)┤
3) Найдем числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию. Согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, получим:
M()=∑_(i=1)^n▒〖x_i p_i=0∙0,036+1∙0,429+2∙0,535=1,499〗. [1, стр. 98]
Для вычисления дисперсии воспользуемся свойством дисперсии:
D()=M(^2 )-M^2 (). [1, стр. 102]
Таким образом, необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины M(^2 ), которое определяем по формуле:
M(^2 )=∑_(i=1)^n▒〖x_i^2 p_i=0^2∙0,036+1^2∙0,429+2^2∙0,535=2,569〗
Тогда D()=M(^2 )-M^2 ()=2,569-〖1,499〗^2=0,32.
3. Плотность вероятности случайной величины ξ имеет вид:
φ(x)={■(0&при x<1@1/3&при 1≤x≤a@0&при x>a)┤
Необходимо:
а) найти параметр a;
б) M() и σ();
в) найти вероятность P(0<<2); г) функцию распределения F(x) и построить ее график. Решение: а) Найдем параметр A из условия [1, стр. 114]: ∫_a^b▒〖f(x)dx=1〗 ∫_1^a▒〖1/3 dx=1↔1/3 x|■(a@1)=1↔1/3 a-1/3=1↔1/3 a=4/3┤ 〗 Значит a=4 б) Найдем математическое ожидание по формуле [1, стр. 115]: M(ξ)=∫_a^b▒〖x∙f(x)dx〗 M(ξ)=∫_1^4▒〖x∙1/3 dx〗=1/3∙x^2/2 |■(4@1)=1/6 (4^2-1^2 )=15/6=2,5┤ Для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение найдем дисперсию по формуле [1, 117]: D(ξ)=∫_a^b▒〖x^2∙f(x)dx-M^2 (ξ)〗 D(ξ)=∫_1^4▒〖x^2∙1/3 dx〗-〖2,5〗^2=1/3∙x^3/3 |■(4@1)-6,25=1/9 (4^3-1^3 )-6,25=63/9-6,25=0,75┤ Тогда среднее квадратическое отклонение равно: σ(ξ)=√(D(ξ) )=√6,25=0,866 в) Найдем функцию распределения F(x) по определению [1, стр. 114] F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt Получаем: Пусть x<1, тогда f(x)=0 , тогда F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^x▒0dt=0. Пусть 1≤x≤4 , тогда f(x)=1/3, тогда F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^1▒0dt+∫_1^x▒〖1/3 dt〗=0+1/3 t|■(x@1)┤=1/3 x-1/3 Пусть x > 4, тогда f(x)=0, тогда F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^1▒0dt+∫_1^4▒〖1/3 dt+∫_5^(+∞)▒0dt〗=0+1/3 t|■(4@1)┤+0=1/3 (4-1)=3/3=1
Таким образом,
F(x)={■(0&x<1@1/3 x-1/3&1≤x≤4@1&x>4)┤
Воспользуемся формулой P(a<"" A)≤M(x)/A [1, стр. 223]
Заданная случайная величина ξ является положительной случайной величиной с M(ξ) = 2,5. Следовательно, в соответствии с леммой Чебышева, P(ξ>3)≤2,5/3=0,83 .
б) Неравенство Чебышева: P(|x-a|≤ε)≤1-D(x)/ε^2 [1, стр. 225]
Заданная случайная величина ξ является положительной случайной величиной с M(ξ) = 2,5. Следовательно, в соответствии с неравенством Чебышева вероятность того, что наудачу выбранный день уровень воды в реке окажется в пределах от 2,2 м до 2,8 м: P(|x-2,5|≤0,3)≤1-〖(0,2)〗^2/〖0,3〗^2 =0,556

Контрольная работа № 2
1. В результате выборочного обследования российских автомо¬билей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме соб¬ственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице.
Пробег, тыс. км. Менее 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5 5 - 6 Более 6 Итого
Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60

Найти:
а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
Пробег, тыс. км. Менее 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5 5 - 6 Более 6 Итого
Середина интервала,
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
Число автомобилей,
3 5 9 16 13 8 6 60

1,5 7,5 22,5 56 58,5 44 39 229

33,007 26,842 15,610 1,608 6,064 22,660 43,191 148,983

Среднее значение вычислим по формуле:
,
где - середины интервалов;
- соответствующие им частоты;
.
.
Дисперсию вычислим по формуле:
.
- средняя квадратическая ошибка выборки.
;
а) , где .
тыс. км.
.
- вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине).
б) Доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:
или 28,3%.
Определяем дисперсию доли
.
Тогда средняя ошибка доли будет
, или 5,15%.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,95 коэффициент доверия составляет t =1,96.
, или 10,1%.
Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:
,
0,283 – 0,101 0,283+0,101,
18,2% 38,4%.
в) Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,9876 коэффициент доверия составляет t =2,5.
.
.
.
- объем выборки, при которой те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

2. По данным задачи 1, используя - критерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай¬ная величина X - средний пробег автомобиля до гарантийного ре¬монта - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответству¬ющую нормальную кривую.
Решение:
Точечные оценки параметров нормального закона распределения:
; .
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
.
В нашем случае:
.
Рассчитаем теоретические относительные частоты:
Нормируем случайную величину Х, т.е. переходим к величине и вычислим концы интервалов ( ):
; (причем наименьшее значение Z полагают равным , а наибольшее ).
Вычислим теоретические вероятности попадания Х в интервалы ( ) по равенству (Ф(z) – функция Лапласа) .
И найдем искомые теоретические частоты .
i

1
-1,79 -0,5 -0,4633 0,0367 2,202
2 -1,79 -1,15 -0,4633 -0,3749 0,0884 5,304
3 -1,15 -0,52 -0,3749 -0,1985 0,1764 10,584
4 -0,52 0,12 -0,1985 0,0478 0,2463 14,778
5 0,12 0,75 0,0478 0,2734 0,2256 13,536
6 0,75 1,39 0,2734 0,4177 0,1443 8,658
7 1,39
0,4177 0,5 0,0823 4,938
Всего: 1 60

Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить нулевою гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, нужно вычислить теоретические частоты (сделали ранее), а затем наблюдаемое значение критерия.
Найдем число степеней свободы к = s -3, где s – число групп; к = 6 - 3=3 (объединили первую и вторую строки (n <5)). Расчеты запишем в таблицу: 1 8 7,506 0,494 0,244036 0,032512 2 9 10,584 -1,584 2,509056 0,237061 3 16 14,778 1,222 1,493284 0,101048 4 13 13,536 -0,536 0,287296 0,021225 5 8 8,658 -0,658 0,432964 0,050007 6 5 4,938 0,062 0,003844 0,000778 =0,443 По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы 2 находим 7,8. Н0: генеральная совокупность распределена нормально. Так как, < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот не значимо. 3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки ζ (%) и размеру выданных кредитов η (млн. руб.) представлено в таблице. η ζ 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Итого 11-13 1 6 7 13-15 4 7 3 14 15-17 1 11 5 1 18 17-19 4 5 2 11 19-21 8 2 10 Итого 12 8 17 13 10 60 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и , и построить эмпирические линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными ζ и η существует ли¬нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо¬мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными ζ и η; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото¬рого равна 16%. Решение: Вычислим групповые средние и , построим эмпирические линии регрессии. Для каждого значения , т.е. для каждой строки корреляционной таблицы вычислим групповые средние , где - частоты пар ( , ) и . Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии η и ζ . Аналогично для каждого значения по формуле , где - частоты пар ( , ) и . Вычисленные групповые средние поместим в последней строке корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии ζ по η. η ζ 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Итого: Группо вая сред няя, Сере дины интер валов 3,5 6,5 9,5 12,5 15,5 11-13 12 1 6 7 18,36 84 1008 13-15 14 4 7 3 14 22,04 196 2744 15-17 16 1 11 5 1 18 25,50 288 4608 17-19 18 4 5 2 11 30,50 198 3564 19-21 20 8 2 10 32,72 200 4000 Итого: 12 8 17 13 10 60 966 15924 Групповая средняя, 50,14 59,67 72,11 85,57 96,11 42 52 162 163 155 573 147 338 1534,3 2031,3 2402,5 6453 Где, , . Эмпирическая линия регрессии η по ζ: Эмпирическая линия регрессии ζ по η: 2) Предполагая, что между переменными ζ по η существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; Вычислим необходимые суммы: ; ; ; ; ; Итак, уравнение регрессии η по ζ: . ; . Итак, уравнение регрессии ζ по η: . ; . Из первого уравнения регрессии η по ζ следует, что при увеличении процентной ставки на 1 % размер выданных кредитов уменьшается на 1,422 млн. руб. Из второго уравнения регрессии ζ по η следует, что при увеличении выданных кредитов на 1 млн. руб. уменьшается процентная ставка на 0,539%. Построим графики уравнений регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии: б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными ζ по η. Вычислим коэффициент корреляции по формуле: . Связь между переменными ζ и η обратная, т.к. и достаточно тесная ( достаточно близок к 1). На уровне значимости = 0,05 оценить значимость коэффициента корреляции. Нулевая гипотеза ; конкурирующая гипотеза . Наблюдаемое значение критерия: . По уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице . Поскольку - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото¬рого равна 16%. Подставим в уравнение регрессии ; млн. руб. – средний размер выданного банком кредита.


Скачиваний: 1
Просмотров: 3
Скачать реферат Заказать реферат