Теория вероятностей. Контрольная работа
В результате выборочного обследования российских автомобилей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60.
Контрольная работа
1. В результате выборочного обследования российских автомо¬билей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме соб¬ственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице.
Пробег, тыс. км. Менее 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5 5 - 6 Более 6 Итого
Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60
Найти:
а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
Пробег, тыс. км. Менее 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5 5 - 6 Более 6 Итого
Середина интервала,
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
Число автомобилей,
3 5 9 16 13 8 6 60
1,5 7,5 22,5 56 58,5 44 39 229
33,007 26,842 15,610 1,608 6,064 22,660 43,191 148,983
Среднее значение вычислим по формуле:
,
где - середины интервалов;
- соответствующие им частоты;
.
.
Дисперсию вычислим по формуле:
.
- средняя квадратическая ошибка выборки.
;
а) , где .
тыс. км.
.
- вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине).
б) Доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:
или 28,3%.
Определяем дисперсию доли
.
Тогда средняя ошибка доли будет
, или 5,15%.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,95 коэффициент доверия составляет t =1,96.
, или 10,1%.
Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:
,
0,283 – 0,101 0,283+0,101,
18,2% 38,4%.
в) Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,9876 коэффициент доверия составляет t =2,5.
.
.
.
- объем выборки, при которой те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
2. По данным задачи 1, используя - критерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай¬ная величина X - средний пробег автомобиля до гарантийного ре¬монта - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответству¬ющую нормальную кривую.
Решение:
Точечные оценки параметров нормального закона распределения:
; .
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
.
В нашем случае:
.
Рассчитаем теоретические относительные частоты:
Нормируем случайную величину Х, т.е. переходим к величине и вычислим концы интервалов ( ):
; (причем наименьшее значение Z полагают равным , а наибольшее ).
Вычислим теоретические вероятности попадания Х в интервалы ( ) по равенству (Ф(z) – функция Лапласа) .
И найдем искомые теоретические частоты .
i
1
-1,79 -0,5 -0,4633 0,0367 2,202
2 -1,79 -1,15 -0,4633 -0,3749 0,0884 5,304
3 -1,15 -0,52 -0,3749 -0,1985 0,1764 10,584
4 -0,52 0,12 -0,1985 0,0478 0,2463 14,778
5 0,12 0,75 0,0478 0,2734 0,2256 13,536
6 0,75 1,39 0,2734 0,4177 0,1443 8,658
7 1,39
0,4177 0,5 0,0823 4,938
Всего: 1 60
Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить нулевою гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, нужно вычислить теоретические частоты (сделали ранее), а затем наблюдаемое значение критерия.
Найдем число степеней свободы к = s -3, где s – число групп; к = 6 - 3=3 (объединили первую и вторую строки (n <5)).
Расчеты запишем в таблицу:
1 8 7,506 0,494 0,244036 0,032512
2 9 10,584 -1,584 2,509056 0,237061
3 16 14,778 1,222 1,493284 0,101048
4 13 13,536 -0,536 0,287296 0,021225
5 8 8,658 -0,658 0,432964 0,050007
6 5 4,938 0,062 0,003844 0,000778
=0,443
По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы 2 находим 7,8.
Н0: генеральная совокупность распределена нормально.
Так как, < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот не значимо.
3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки X (%) и размеру выданных кредитов Y (млн. руб.) представлено в таблице.
У
X 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Итого
11-13 1 6 7
13-15 4 7 3 14
15-17 1 11 5 1 18
17-19 4 5 2 11
19-21 8 2 10
Итого 12 8 17 13 10 60
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние и , и построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными X и Yсуществует ли¬нейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо¬мическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото¬рого равна 16%.
Решение:
1) Вычислим групповые средние и , построим эмпирические линии регрессии.
Для каждого значения , т.е. для каждой строки корреляционной таблицы вычислим групповые средние
, где - частоты пар ( ) и .
Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X.
Аналогично для каждого значения по формуле
, где - частоты пар ( ) и .
Вычисленные групповые средние поместим в последней строке корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии X по Y.
y
x 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Итого: Группо
вая сред
няя,
Сере
дины
интер
валов 3,5 6,5 9,5 12,5 15,5
11-13 12 1 6 7 18,36 84 1008
13-15 14 4 7 3 14 22,04 196 2744
15-17 16 1 11 5 1 18 25,50 288 4608
17-19 18 4 5 2 11 30,50 198 3564
19-21 20 8 2 10 32,72 200 4000
Итого: 12 8 17 13 10 60 966 15924
Групповая средняя,
50,14 59,67 72,11 85,57 96,11
42 52 162 163 155 573
147 338 1534,3 2031,3 2402,5 6453
Где, , .
Эмпирическая линия регрессии Y по X:
Эмпирическая линия регрессии X по Y:
2) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Вычислим необходимые суммы:
;
;
;
;
;
Итак, уравнение регрессии Y по X: .
;
.
Итак, уравнение регрессии X по Y: .
;
.
Из первого уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении процентной ставки на 1 % размер выданных кредитов уменьшается на 1,422 млн. руб.
Из второго уравнения регрессии X по Y следует, что при увеличении выданных кредитов на 1 млн. руб. уменьшается процентная ставка на 0,539%.
Построим графики уравнений регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии:
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У.
Вычислим коэффициент корреляции по формуле:
.
Связь между переменными Х и У обратная, т.к. и достаточно тесная ( достаточно близок к 1).
На уровне значимости = 0,05 оценить значимость коэффициента корреляции.
Нулевая гипотеза ; конкурирующая гипотеза .
Наблюдаемое значение критерия:
.
По уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице .
Поскольку - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото¬рого равна 16%.
Подставим в уравнение регрессии ;
млн. руб. – средний размер выданного банком кредита.