Теория вероятностей. Контрольная работа

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа

Задача 1

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85.
Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство;
б) два устройства;
в) хотя бы одно устройство.

Решение.

В данной задаче независимо производятся три эксперимента, состоящие в работе каждого из трёх устройств.
Обозначим:
– событие, состоящее в том, что при аварии сработает первое устройство;
– событие, состоящее в том, что при аварии сработает второе устройство;
– событие, состоящее в том, что при аварии сработает третье устройство;
– событие, состоящее в том, что при аварии сработает только одно устройство;
– событие, состоящее в том, что при аварии сработают два устройства;
– событие, состоящее в том, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.

По условию: ; ; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что при аварии первое устройство не сработает; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что при аварии второе устройство не сработает; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что при аварии третье устройство не сработает; .
Найдём , и .
а) Событие есть сумма несовместных событий , и : ,
где – событие, состоящее в том, что при аварии 1-ое устройство сработает, а 2-ое и 3-е устройство не сработает;
– событие, состоящее в том, что при аварии 2-ое устройство сработает, а 1-ое и 3-е устройство не сработает;
– событие, состоящее в том, что при аварии 3-е устройство сработает, а 1-ое и 2-ое устройство не сработает.
Учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
;
;
.
Учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем:
.
б) Событие есть сумма несовместных событий , и : ,
где – событие, состоящее в том, что при аварии 1-ое устройство не сработает, а 2-ое и 3-е устройство сработает;
– событие, состоящее в том, что при аварии 2-ое устройство не сработает, а 1-ое и 3-е устройство сработает;
– событие, состоящее в том, что при аварии 3-е устройство не сработает, а 1-ое и 2-ое устройство сработает.
Учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
;
;
.
Учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем:
.
в) Событие , противоположное событию , состоит в том, что при аварии не сработает ни одно устройство: .
Учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Следовательно, .
Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

Задача 2

В каждом испытании некоторое событие происходит с вероятностью . Произведено 1600 независимых испытаний. Найти границы для частости, симметричные относительно , которые можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение.
Воспользуемся следствием интегральной теоремы Муавра – Лапласа:
если вероятность р наступления события А в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность заданного отклонения относительной частоты (частости ) появления события А от его вероятности вычисляется по приближённой формуле , где
р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний,
q – вероятность ненаступления события А в каждом из испытаний,
п – число испытаний, – заданное отклонение,
– функция Лапласа.
В нашем случае ; .
Найдём отклонение , при котором , то есть в силу следствия интегральной теоремы Муавра – Лапласа .
Итак, найдём из выражения : .
По таблице значений функции Лапласа находим: .
Следовательно, , откуда .
Значит с вероятностью 0,95 можно ожидать отклонение относительной частоты появления события от .
Соответственно границы для частости, симметричные относительно , которые можно гарантировать с вероятностью 0,95:
.
Ответ: .

Задача 3

Каждый пятый клиент банка приходит брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания пять человек. Составить закон распределения числа клиентов, которые пришли снять проценты с вклада. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение.
Дискретная случайная величина Х – число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада – имеет следующие возможные значения: , , , , , .
Найдём вероятности , , , , , этих возможных значений.

Х

Р

Искомый закон распределения дискретной случайной величины Х, соответственно, будет иметь вид:

Пусть – событие, которое заключается в том, что клиент пришёл снять проценты с вклада.

Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли , где
– число сочетаний из элементов по ;

– вероятность появления события в каждом из испытаний, ;
– вероятность непоявления события в каждом из испытаний, .
Число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада возможно только в случае появления события ровно 0 раз в испытаниях. Поэтому

Число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада возможно только в случае появления события ровно 1 раз в испытаниях. Поэтому

Число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада возможно только в случае появления события ровно 2 раза в испытаниях. Поэтому

Число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада возможно только в случае появления события ровно 3 раз в испытаниях. Поэтому

Число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада возможно только в случае появления события ровно 4 раза в испытаниях. Поэтому

Число клиентов, которые пришли снять проценты с вклада возможно только в случае появления события ровно 5 раз в испытаниях. Поэтому

Сумма вероятностей

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х 0 1 2 3 4 5
Р

Вычислим числовые характеристики случайной величины Х (параметры распределения):
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

.
Дисперсия дискретной случайной величины Х: , где .

,
значит .
Х 0 1 2 3 4 5
Р

Ответ: ;

; .

Задача 4

На двух станках получают детали одинаковой номенклатуры. Случайные величины и – число бракованных деталей в партиях деталей за смену, произведённых на каждом из станков, – характеризуются следующими законами распределения:

1 2 3

0,3 0,5 0,2

0 1 2

0,6 0,3 0,1

: :

Составить закон распределения случайной величины – общего числа бракованных деталей в объединённой партии деталей, произведённых на двух станках. Найти её математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Решение.

Составим закон распределения случайной величины – общего числа бракованных деталей в объединённой партии деталей, произведённых на двух станках. Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2, 3.

0 1 2 3

0 0,3 0,5 0,2

0 1 2 3

0,6 0,3 0,1 0

: :

Вероятности возможных значений случайной величины определим как средние арифметические значения вероятностей соответствующих возможных значений случайных величин и : .

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

0 1 2 3

0,3 0,3 0,3 0,1

Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.
Действительно, .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Математическое ожидание дискретной случайной величины , закон распределения которой имеет вид, вычисляется по формуле .
В нашем случае
.

Дисперсия характеризует степень изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсию дискретной случайной величины определим по формуле: , где .
,
значит .
Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) случайной величины задаётся формулой .
При построении функции будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками, соответствующими значениям заданной случайной величины, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий:
a) для , так как в данном случае мы имеем дело с вероятностью невозможного события (в частности для );
b) для (в частности для );
c) для (в частности для );
d) для (в частности для );
e) для .
Обобщая полученные данные, можно записать:

0 1 2 3

0,3 0,3 0,3 0,1
Ответ: ; ; ;

Задача 5

Плотность вероятности случайной величины имеет вид: . Известно, что вероятность . Найти: а) параметр ;
б) дисперсию ;
в) вероятность ;
г) функцию распределения .

Решение.
а) Функция плотности вероятности нормально распределённой случайной величины с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением имеет вид: .
В нашем случае функция плотности вероятности , следовательно, заданная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины : .
В силу симметричности функции относительно прямой выполнено равенство . В нашем случае известно, что вероятность , а значит и потому, очевидно, выполнено равенство . Следовательно, параметр заданного нормального распределения – математическое ожидание случайной величины : .
б) Среднее квадратическое отклонение , а значит дисперсия .
Таким образом, случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и .
в) Найдём вероятность того, что примет значение в промежутке от 2 до 5.
Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределённой случайной величины вычисляется по формуле: , где – функция Лапласа,
– математическое ожидание случайной величины ;
– среднее квадратическое отклонение.
По таблице значений функции Лапласа находим: , .
Значит вероятность того, что примет значение в промежутке от 2 до 5:
.
г) Функция распределения случайной величины , распределённой по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле .
Следовательно, в нашем случае функция распределения заданной случайной величины: , где – функция Лапласа, то есть .
Ответ: а) ; б) ; в) ;
г) .
Контрольная работа №4

Задача 1
1. В некотором городе по схеме собственно случайной бесповторной выборки было обследовано 80 магазинов розничной торговли из 2500 с целью изучения объема розничного товарооборота. Получены следующие данные: (таблица 1)
Таблица 1
Товарооборот, у.е. Менее 60 60-70 70-80 80-90 90-100 Более100 Итого
Число магазинов 12 19 23 18 5 3 80

Найти:
а) вероятность того, что средний объем розничного товарооборота во всех магазинах города отличается от среднего объема розничного товарооборота, полученного в выборке, но не более, чем на 4 у.е. (по абсолютной величине).
б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у.е.;
в) объем бесповторной выборки, при которой те же границы для среднего объема розничного товарооборота (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,95).

А) средний товарооборот по выборке:
тыс. руб.
Среднеквадратическое «исправленное» отклонение по выборке

Ошибка выборочной средней

Б) Ошибка доли

В)

Задача 2.
По данным задачи 1, используя - критерий Пирсона, на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – объем розничного товарооборота распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение
Рассчитаем теоретические частоты.

i

1 - 60 - -14,25 - -1,10 -0,5 -0,3643 0,1357 11
2 60 70 -14,25 -4,25 -1,10 -0,33 -0,3643 -0,1293 0,235 19
3 70 80 -4,25 5,75 -0,33 0,45 -0,1293 0,1736 0,3029 24
4 80 90 5,75 15,75 0,45 1,22 0,1736 0,3883 0,2147 17
5 90 100 15,75 25,75 1,22 2,00 0,3883 0,4772 0,0889 7
6 100 - 25,75 - 2,00 - 0,4772 0,5 0,0228 2
1 80

Для проверки гипотезы используем критерий согласия Пирсона. Для этого проведем дополнительный расчет

1 12 11 1 1 0,091
2 19 19 0 0 0,000
3 23 24 -1 1 0,042
4 18 17 1 1 0,059
5 5 7 -2 4 0,571
6 3 2 1 1 0,500
Сумма 1,263

Табличное значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 6-1-2=3 равно 7,8. Наблюдаемое значение меньше критического, следовательно, гипотеза о распределении случайной величины по нормальному закону подтверждается.


Скачиваний: 6
Просмотров: 4
Скачать реферат Заказать реферат