Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольная работа

Задача 1. В поселке имеется 6 производственных предприятий, 8 магазинов и 4 банка. Вероятность того, что имеется свободная вакансия бухгалтера равна: 0,4 для предприятия, 0,3 для магазина, 0,6 для банка.
1) Найти вероятность того, что в поселке имеется свободная вакансия бухгалтерия.
2) Известно, что в поселке есть свободная вакансия бухгалтера. Найти вероятность того, что эта вакансия – в банке.

Решение. Введем полную группу гипотез:
= (Рассматривается производственное предприятие),
= (Рассматривается магазин),
= (Рассматривается банк).

Вероятности вычислим по классическому определению вероятности (отношение числа предприятий данной категории к общему числу предприятий): , , .

Введем событие = (На предприятии есть свободная вакансия бухгалтера). Выпишем условные вероятности: , , .

1) Вероятность того, что в поселке имеется свободная вакансия бухгалтерия найдем по формуле полной вероятности:

2) Вероятность того, что вакансия бухгалтера будет именно в банке, если известно, что она есть, найдем по формуле Байеса:

Ответ: 1) 0,4; 2) 0,333.

Задача 2. Путем длительных наблюдений установлено, что в данной местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Что вероятнее: из 6 наудачу взятых дней сентября будет два или три дождливых дня?

Решение. Будем считать, что вероятность того, что день дождливый, равна .
Попадаем в условие схемы Бернулли с параметрами: (дней), (вероятность дождя). Вероятность того, что из дней будет ровно дождливых найдем по формуле Бернулли: .

Получаем:
Два дождливых дня, :
.
Три дождливых дня, :
.

Вероятнее, что будет 2 дождливых дня.

Ответ: 2 дождливых дня.

Задача 3. Нарушение правил дорожного движения приводит к аварии с вероятностью 0,01. Найти вероятность попасть в аварию хотя бы один раз при 100 нарушениях.

Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами (количество нарушений), (вероятность попасть в аварию). Будем использовать формулу (вероятность того, что из нарушений приведут к аварии ровно нарушений).

Вероятность попасть в аварию хотя бы один раз при 100 нарушениях:

Эту же вероятность можно найти по приближенной формуле Пуассона:
- вероятность того, что из нарушений приведут к аварии ровно нарушений.
Вероятность попасть в аварию хотя бы один раз при 100 нарушениях:

Ответ: 0,63.

Задача 4. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до тех пор, пока не появится белый шар. Составить закон распределения случайной величины - числа извлеченных шаров. Найти:
А) среднее квадратическое отклонение ;
Б) функцию распределения ,
В) вероятность .
Решение. Найдем закон распределения дискретной случайной величины = (Число вынутых шаров). может принимать значения 1, 2, 3 и 4. Найдем соответствующие вероятности.

, если первый же вытащенный шар будет белым, поэтому .
, если первый вытащенный шар будет черным, а второй - белым, поэтому .
, если первый и второй вытащенные шары будут черными, а третий - белым, поэтому .
, если первый, второй и третий вытащенные шары будут черными, а четвертый - белым, поэтому .

Получили закон распределения:

1 2 3 4

2/5 3/10 1/5 1/10

Расчеты проведены верно, так как сумма вероятностей 2/5+3/10+1/5+1/10=1.

Найдем характеристики случайной величины .
Математическое ожидание
.
Дисперсия:
.
А) Тогда среднее квадратическое отклонение .

Б) Найдем функцию распределения .

В) Найдем вероятность :
.

Задача 5. Размер вклада клиента сберегательного банка – случайная величина, распределенная по биномиальному закону с математическим ожиданием тыс. руб. и дисперсией . Необходимо:
1) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что размер вклада наудачу взятого вкладчика будет заключен в границах от 14 до 16 тыс. руб.;
2) Найти вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа;
3) Пояснить различие результатов.

Решение.
1) Используем неравенство Чебышева: . Подставляем данные: , , . Получаем:

2) Вычислим вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Используем формулу: . Подставляем данные: , , . Получаем:
.

3) Неравенство Чебышева дает более грубую оценку вероятности, так как справедливо для любой случайной величины и устанавливает нижнюю оценку для вероятности, тогда как вторая формула использует дополнительные данные (а именно, что величина распределена по биномиальному закону) и дает приближенное значение (а не оценку).

Контрольная работа №4

Задача 1. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 1500 участников соревнования было отобрано 100 человек. Их распределение по числу набранных баллов дано в таблице:

Число набранных баллов 52-56 56-60 60-64 64-68 68-72 72-76 Итого
Число участников 9 11 19 30 21 10 100

Найти:
А) границы, в которых с вероятностью 0,9861 будет находиться среднее число набранных баллов для всех участников соревнований;
Б) вероятность того, что доля всех участников соревнований, набравших не менее 68 баллов, отличается от доли таких участников в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине);
В) объем выборки, при котором те же границы для среднего числа участников (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,97.

Решение. Вычислим сначала числовые характеристики выборки. Построим соответствующий простой вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов:

54 58 62 66 70 74 Итого

9 11 19 30 21 10 100

Найдем среднее:

Найдем исправленную дисперсию:
.

Найдем исправленное среднеквадратичное отклонение: .
Расчеты в таблице ниже:

54 58 62 66 70 74 Сумма

9 11 19 30 21 10 100

486 638 1178 1980 1470 740 6492

1073,218 526,7504 162,0016 34,992 541,9344 824,464 3163,36

А) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9861 будет находиться среднее число набранных баллов для всех участников соревнований.

Используем формулу:
, где - предельная ошибка выборки, . Здесь доверительный коэффициент определяется по значению вероятности, .
Подставляем и получаем: .
Тогда искомый интервал:
,
.

Б) Найдем вероятность того, что доля всех участников соревнований, набравших не менее 68 баллов, отличается от доли таких участников в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

Выборочная доля всех участников соревнований, набравших не менее 68 баллов, равна .
Предельная ошибка для доли . Получаем:

Вероятность 0,975.

В) Найдем объем выборки, при котором те же границы для среднего числа участников (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,97.

То есть найдем объем выборки , который гарантирует такую же предельную ошибку для среднего .
Используем формулу: . Вычислим .
Получаем: .

Задача 2. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, на уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – число набранных баллов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение. Пронормируем случайную величину , то есть перейдем к величине , вычислим концы интервалов по формулам , .
Вычислим теоретические (выравнивающие частоты) , где , - вероятность попадания в интервал , - функция Лапласа.

Для нахождения значений составим расчетную таблицу:

52 56 9
-1,58 -0,50 -0,44 0,06 5,73 1,869
56 60 11 -1,58 -0,87 -0,44 -0,31 0,13 13,48 0,455
60 64 19 -0,87 -0,16 -0,31 -0,06 0,24 24,33 1,168
64 68 30 -0,16 0,54 -0,06 0,21 0,27 27,17 0,294
68 72 21 0,54 1,25 0,21 0,39 0,19 18,77 0,264
72 76 10 1,25
0,39 0,50 0,11 10,52 0,026

Сумма 100,00 100,00 4,076

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:
.
По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы k = 6 - 3 = 3, находим кр. = 7,8. Так как набл. = 4,076 < кр. = 7,8, то следует принять гипотезу о нормальном распределении данной величины. Построим теоретическую нормальную кривую и гистограмму на одном чертеже. Расчетная таблица: относит. частота 0,0225 0,0275 0,0475 0,075 0,0525 0,025 плотность распр. 0,01092 0,03336 0,06176 0,0693 0,04713 0,01943 Задача 3. В таблице приведено распределение 120 коров по дневному надою (в кг) и по жирности (в %): 7 9 11 13 15 Итого 3,3 8 8 3,5 2 16 8 26 3,7 4 16 10 2 32 3,9 2 6 10 2 20 4,1 8 6 20 34 Итого 10 16 48 36 10 120 Необходимо: 1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии; 2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент жирности молока для коров, дневной удой которых составляет 12 кг. Решение. 1) Найдем групповые средние по формулам: ; . Вычисления проведем в Excel, получаем: 4,060 3,925 3,900 3,533 3,540 7 9 11 13 15 3,3 13,000 3,5 13,462 3,7 11,625 3,9 10,200 4,1 9,706 Построим эмпирические линии регрессии ( на , на ). Из вида эмпирических линий регрессии можно заключить, что между переменными наблюдается линейная зависимость. Найдем уравнения прямых линий регрессии. Вычислим необходимые величины (расчеты в таблицах ниже): 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 Сумма 8 26 32 20 34 120 26,4 91 118,4 78 139,4 453,2 87,12 318,5 438,08 304,2 571,54 1719,44 7 9 11 13 15 Сумма 10 16 48 36 10 120 70 144 528 468 150 1360 490 1296 5808 6084 2250 15928 , , , , , , . = 5093,2 Уравнения прямых регрессии: Построим графики линий регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии. Экономическая интерпретация полученных уравнений: - при увеличении жирности молока на 1%, дневной надой уменьшается в среднем на 5,483 кг. - при увеличении дневного надоя на 1 кг, жирность молока уменьшается в среднем на 0,084 %. Вычислим коэффициент корреляции На уровне значимости оценим значимость коэффициента корреляции. Вычислим значение критерия По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим . Так как наблюдаемое значение 10,047 больше критического, коэффициент корреляции значим. Связь между переменными X и У тесная, обратная. Используя соответствующее уравнение регрессии, оценим средний процент жирности молока для коров, дневной удой которых составляет 12 кг: . ЛИТЕРАТУРА. 1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика», 2003. 2. Ларин А.А. «Высшая математика. Часть 4. Теория вероятностей и математическая статистика.» 3. Плотникова С.В., «Математическая статистика». Методические разработки. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2005. 4. Сизова Т.М., «Статистика», учебное пособие. С.-Пб., 2005, 80 c. 5. Севастьянов Б.А. «Курс теории вероятностей и математической статистики», 1982. 6. Соловьев А.А. «Лекции по теории вероятностей и математической статистике» ЧелГУ.

Скачиваний:	3
Просмотров:	18

Скачать реферат Заказать реферат