Теория вероятностей

Ребенок играет кубиками, на которых написаны буквы: О, Л, К, И, А, Р,Ш.
Найти вероятность того, что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово «ШАРИК».

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа

1. Ребенок играет кубиками, на которых написаны буквы: О, Л, К, И, А, Р,Ш.
Найти вероятность того, что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово «ШАРИК».

Решение
Всего вариантов составления кубиков
.
Благоприятных вариантов 1.
Тогда, согласно классической вероятности, вероятность того, что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово «ШАРИК»
Р=1/120.

2. При тестировании качества радиодеталей установлено, что на каждые 10 000 радиодеталей в среднем приходится четыре брако¬ванных.
Определить вероятность того, что при проверке 5000 радиодеталей будет обнаружено:
а) не менее трех бракованных деталей;
б) не менее одной и не более трех бракованных деталей.

Решение
Вероятность того, что деталь бракованная, равна
.
Используем интегральную теорему Лапласа.
Не менее трех бракованных деталей – событие обратное событию менее трех бракованных деталей.

Тогда вероятность того, что при проверке 5000 радиодеталей будет обнаружено не менее трех бракованных деталей
Р=1-0,4207=0,5793.

3. Вероятность гибели саженца составляет 0,4.
Составить закон распределения числа прижившихся саженцев из имеющихся четырех. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины.

Всего саженцев .

Вероятность того, что ни один саженец не приживется (х=0)
.
Вероятность того, что приживется 1 саженец.

Вероятность того, что приживутся два саженца

Вероятность того, что приживутся три саженца

Вероятность того, что приживутся четыре саженца

Закон распределения:
Х 0 1 2 3 4
Р 0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296
Математическое ожидание:

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Функция распределения:

4. Независимые случайные величины X и У заданы законами распределения:
Х:
х -1 4
р 0,3 ?
У:
у -2 0 3
р 0,1 0,4 ?

Найти вероятность . Составить закон распределения случайной величины и проверить свойство математического ожидания .

Сумма вероятностей должна быть равна 1. Отсюда

Составляем закон распределения

Вносим данные в таблицу
z -12 -6 -2 8 24 48
p 0,15 0,12 0,03 0,07 0,28 0,35

Найдем математические ожидания

5. Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины Х имеет вид:

Найти:
а) функцию распределения F(x);
б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X);
в) вероятность Р(0 < X < 1). Построить графики функций и F(x). С помощью неравенства Маркова оценить вероятности того, что случайная величина X примет значения: а) больше 6; б) не больше 5/3. Найти те же вероятности с помощью функции распределения и объяснить различие результатов. Функция распределения Математическое ожидание Дисперсию можно вычислить по формуле: D(X)=M(X2)-a2. Вначале найдём Теперь Строим графики Неравенство Маркова Вероятность того, что случайная величина X примет значения больше 6 Вероятность того, что случайная величина X примет значения не больше 5/3 При использовании функции распределения вероятность того, что случайная величина X примет значения больше 6 При использовании функции распределения вероятность того, что случайная величина X примет значения не больше 5/3 Полученные значения отличаются, так как неравенство Маркова дает лишь грубую оценку.   Контрольная работа №4 1. В филиале заочного вуза обучается 2000 студенток. Для изуче¬ния стажа работы студентов по специальности по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 студентов. Получен¬ные данные о стаже работы студентов по специальности представле¬ны в таблице. Стаж работы по специальности, лет Менее 2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 Более 12 Итого Количество студентов 10 19 24 27 12 5 5 100 Найти: а) вероятность того, что доля всех студентов филиала, имеющих стаж работы менее шести лет, отличается от выборочной доли таких студентов не более чем на 5% (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,997 заключен средний стаж работы по специальности всех студентов филиала; в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего стажа работы по специальности (см. п. б) можно гаранти¬ровать с вероятностью 0,9898. Решение А) Ошибка доли определяется по формуле: Б) среднее число лет работы по специальности по выборке: лет. Среднеквадратическое «исправленное» отклонение по выборке Ошибка выборочной средней Границы в которых с вероятностью 0,997 будет находиться средний стаж работы по специальности всех студентов филиала В) 2. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, на уровне значимости а - 0,05 проверить гипотезу о том, что случай¬ная величина X – стаж работы студентов по специальности - распределена по нор¬мальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпи¬рического распределения и соответствующую нормальную кривую. Решение Рассчитаем теоретические частоты. i 1 - 2 - -4,04 - -1,31 -0,5 -0,4049 0,0951 10 2 2 4 -4,04 -2,04 -1,31 -0,66 -0,4049 -0,2454 0,1595 16 3 4 6 -2,04 -0,04 -0,66 -0,01 -0,2454 -0,004 0,2414 24 4 6 8 -0,04 1,96 -0,01 0,64 -0,004 0,2389 0,2429 24 5 8 10 1,96 3,96 0,64 1,28 0,2389 0,3997 0,1608 16 6 10 12 3,96 5,96 1,28 1,93 0,3997 0,4732 0,0735 7 7 12 - 5,96 - 1,93 - 0,4732 0,5 0,0268 3 1 100 Для проверки гипотезы используем критерий согласия Пирсона. Для этого проведем дополнительный расчет 1 10 10 0 0 0 2 19 16 3 9 0,5625 3 24 24 0 0 0 4 27 24 3 9 0,375 5 12 16 -4 16 1 6 5 7 -2 4 0,571 7 5 3 2 4 1,333 Сумма 3,842 Табличное значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 7-1-2=4 равно 14,1. Наблюдаемое значение меньше критического, следовательно, гипотеза о распределении случайной величины по нормальному закону подтверждается.


Скачиваний: 2
Просмотров: 2
Скачать реферат Заказать реферат