Теория вероятностей

Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа

Задание №1
Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования представлены в таблице:

Число
Патронов
(шт.) Менее
200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 Более
700 Итого
Число
спортсменов 4 20 57 65 31 15 8 200
Х 150 250 350 450 550 650 750

Найти: а) границы, в которых с вероятность 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена;
б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов за тренировку, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине);
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
В крайних интервалах примем ширину интервалов равной 100, как и у внутренних интервалов. Обозначим признак «число спортсменов» через Х. За значения признака примем середины интервалов, значения признака приведены в третьей строке. Объем вариационного ряда равен n=200, и полный объем данных N=4000.
Вычислим выборочную среднюю и исправленную выборочную дисперсию для распределения величины Х.

1) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов.
Так как выборка бесповторная, то среднее квадратическое отклонение генеральной средней вычисляется по формуле:

Получим . Отсюда
И получим неравенство для среднего числа патронов
420,52 M(X) 455.48
2) Выборочная доля спортсменов, у которых число патронов более 500 по таблице равна (31+15+8)/200=0.27. Найдем вероятность того, что доля таких спортсменов отличается не более чем на 5% (0,05).

Тогда t=1,61
По таблице функции Лапласа находим , что при t=1,61 P=0,8923.
Таким образом, вероятность равна 989,23%.
2) Найдем число рабочих, которых следует выбрать, чтобы вероятность выполнения условия: станет равной 0,9876.
При бесповторной выборке для определения необходимого объема выборки, при которой с вероятностью Р=0,9876 можно утверждать, что средняя отличается от математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на =17,48 используется формула:
По таблице функции Лапласа находим, что при Р =0,9876 t=2,5 и, следовательно вычисляем необходимый объем выборки по приведенной формуле: n 341.

Задание №2
По данным задачи 1, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х –число патронов – распределена нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Критерий Пирсона есть критерий проверки гипотезы о предлагаемом законе неизвестного распределения. В последующей таблице приводятся эмпирические частоты, рассчитываются теоретические вероятности, исходя из предположения о нормальности распределения с параметрами, рассчитанными в задаче 1.
В третьем столбце приводятся теоретические частоты, для чего вероятность попадания в данный интервал для величин, имеющих нормальное распределение, умножаются на количество данных. В последних столбцах рассчитаны вспомогательные величины.
Для расчета вероятностей используем таблицы функции Лапласа.
Например,

Интервал

100-200 4 5,63 0,67
200-300 20 21,98 0,20
300-400 57 48,35 1,31
400-500 65 60,06 0,37
500-600 31 42,16 4,01
600-700 15 16,70 0,19
700-800 8 3,73 2,28
9,04
Теория 9,49

Вычисляем величину

В рассматриваемом случае статистика
=9,81.
Так как число интервалов равно 7, то число степеней свободы в данном случае равно 7-2-1=4. Соответствующее критическое значение статистики на уровне значимости 0,05 равно 9,49. Так как <9,49, то гипотеза о нормальности данного распределения не отвергается. Таким образом, случайная величина – число спортсменов может быть распределена по нормальному закону. Для наглядности построим гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую. Так как длинна интервала равна 100, эмпирические частоты умножаем на 100, график нормальной кривой строим по точкам. 70 60 50 ─ Гистограмма 40 Норм.распр. 30 20 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Задание №3 В таблице приведено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y(тыс.руб.): Y X 3-9 9-15 15-21 21-27 27-33 Более 33 Итого 20-30 2 5 2 9 30-40 4 8 4 3 19 40-50 4 10 20 10 44 50-60 5 36 23 6 70 60-70 12 11 11 34 70-80 6 10 16 80-90 8 8 Итого 14 27 55 54 35 15 200 Необходимо: 1) вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество примесей в драгоценном изделии, если его стоимость составляет 25 тыс. руб. Решение: Составим таблицу для расчета вспомогательных величин, через которое выражается средние и дисперсии случайных величин Х и Y. Вычислим групповые средние. В 8 и 9 колонках приведены следующие величины: В 10 и 11 строках приведены следующие величины: Для средних величин получаем значения по формулам: =54,05 =21,42 Выборочная дисперсия переменной Х вычисляется по формуле: =184,6. Выборочная дисперсия переменнойY вычисляется по формуле: =62,46. В ячейке (11 строка, 9 колонка) вычислено значение =1077,90. Выборочный корреляционный момент вычисляется по формуле: =-79,85. Приведем всю построенную таблицу: Y 3-9 9-15 15-21 21-27 27-33 33-39 Сумма Групповая средняя X 6 12 18 24 30 36 25 2 5 2 9 30 35 4 8 4 3 19 25,89 45 4 10 20 10 44 28,91 55 5 36 23 6 70 20,57 65 12 11 11 34 17,82 75 6 10 16 9,75 85 8 8 6 Сумма 14 27 55 54 35 15 200 средняя 80,71 66,85 54,82 51,11 42,71 40,33 1077,9 54,05 184,6 µ= -79,85 21,42 62,46 Yx=ByxX+D1 Xy=BxyY+D2 Byx D1 Bxy D2 Xsr Ysr r t -0,43 44,8 -1,28 81,43 54,05 21,42 -0,74 15,65 Уравнения регрессий имеют вид:


Скачиваний: 3
Просмотров: 5
Скачать реферат Заказать реферат