Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Строгое притяжение к нормальному закону для
стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

С.А. Клоков, Омский государственный университет,
кафедра математического анализа

1. Введение. Обозначения. Постановка задачи

Пусть
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - стационарная (в узком смысле)
последовательность случайных величин (с.в.), Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием-алгебры,
порожденные семействами Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Говорят, что
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемудовлетворяет
условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием


стремится
к нулю при Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Как
обычно, через Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемобозначим
дисперсию суммы Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, а через Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - нормальную с.в. с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией. Символы Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием и Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемобозначают
сходимость по распределению и равенство распределений с.в.,  · 
- норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемобозначим
срезку Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, через Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - дисперсию суммы Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Вместе с
последовательностью Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниембудет
рассматриваться последовательность Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемтаких с.в.,
что Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемнезависимы. В
случае, если функции f и g связаны соотношением Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, где const -
абсолютная константа, будем писать Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, а если Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, то Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Будем
считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся
функций (см., например, [5]).


Говорят,
что последовательность с.в. Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпритягивается
к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант An и Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемимеет место
соотношение Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. В случае,
если с.в. Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемимеют конечные
вторые моменты, дисперсия суммы Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемговорят, что к
последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ).


Первые
предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в
начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о
сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости
перемешивания (стремления Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемк нулю). В
этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному
закону. В [?] доказана


Теорема
1. Пусть Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - стационарная последовательность с.в.,
удовлетворяющая условию РСП, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдля некоторого
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Тогда к
последовательности Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемприменима ЦПТ.


Для
последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива,
если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1]
высказана


Гипотеза
(Ибрагимов, 1965).     


Пусть
 Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - стационарная последовательность с.в.,
удовлетворяющая условию РСП, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Тогда к
последовательности Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемприменима ЦПТ.


Пусть
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - последовательность независимых одинаково
распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпринадлежит
области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемявляется ММФ.
Иосифеску сформулировал следующее предположение.

Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).

Пусть
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - стационарная последовательность с.в.,
удовлетворяющая условию РСП с Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми H(x) - ММФ.
Тогда Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпритягивается
к нормальному закону.


Гипотезы
Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.


Хорошо
известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование
конечного второго момента (Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием) и правильное
изменение хвоста распределения одного слагаемого (Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - ПМФ порядка
-2). В работе [4] доказана


Теорема
2. Пусть Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - стационарная последовательность с.в.,
удовлетворяющая условию РСП, причем Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Пусть Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, выполнено
соотношение


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием(1)


где
h(x) - ММФ. Тогда Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпритягивается
к нормальному закону.


В
настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию
h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В
монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется
SO-меняющейся [3], если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что
для всех Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемвыполнено


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием(2)


Очевидно,
что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций
могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким
образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным.


Основным
результатом работы является обобщение теоремы 2:


Теорема
3. Пусть  Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием - стационарная последовательность с.в.,
удовлетворяющая условию РСП, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми выполнено
соотношение


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием(3)


где
h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпритягивается
к нормальному закону.


Обобщение
результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства
теоремы 2, данного в работе [4].

2. 
Вспомогательные результаты

Из
(2) очевидным образом следует


Лемма
1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдля любого
фиксированного Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми для любой
функции Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдостаточно
медленно.


Определим
последовательность Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемсоотношением Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Лемма
2. Пусть выполнено (3). Тогда


а)
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдля любого x0
или Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдостаточно
медленно;


б)
если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдостаточно
медленно, то Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Доказательство.
Из определения an легко выводится, что


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием  (4)


Из
(4) и леммы 1 следует, что


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием(5)


Пункт
а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая
константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного
k или Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдостаточно
медленно, что


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Выбором
достаточно большой константы Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемможно
добиться, что Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием, откуда
следует, что Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Выбирая
достаточно малую константу D = D2, получим, что Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Таким
образом, Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Лемма
3. Пусть Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием- схема серий
с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемобразуют
стационарную последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же
коэффициентом перемешивания Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпричем Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Пусть Tn,j Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием,Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Тогда


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием(6)


Доказательство.
Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из [4], а второе выведено в
[3, лемма3.3].


Лемма
4. Для любого фиксированного k или Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемдостаточно
медленно выполнено соотношение Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Доказательство.
Схема доказательства приведена в [?, теорема 18.2.3].


Лемма
5. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, достаточно медленно
стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда


Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием(7)


где
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниемпри Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.


Доказательство.
Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в [4]. В
силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0,
что Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. Пусть Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием- такая
числовая последовательность, что Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиваниеми zn =
o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием








Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат