Статистика

Контрольная работа

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа

Задача 1. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первее устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85.
Найти вероятность того, что при аварии сработает:
а) только одно устройство;
б) два устройства;
в) хотя бы одно устройство.

Решение. Пусть p1 – вероятность того, что сработает первое устройство, p1=0,9;
р2 – вероятность того, что сработает второе устройство, p2=0,95;
p3 – вероятность того, что сработает третье устройство, p3=0,85.
Тогда вероятность того, что не сработает первое устройство, равна q1=1-0,9=0,1;
вероятность того, что не сработает второе устройство, равна q2=1-0,95=0,05;
вероятность того, что не сработает третье устройство, равна q3=1-0,85=0,15.

а) Вероятность Р1 того, что сработает только одно устройство, равна сумме произведений вероятностей следующих событий: сработает первое и не сработают второе и третье, сработает второе и не сработает первое и третье; сработает третье и не сработают первое и второе.

б) Вероятность Р2 того, что сработают два устройства, равна сумме произведений вероятностей следующих событий: сработают первое и второе и не сработает третье; сработают второе и третье и не сработает первое; сработают первое и третье и не сработает второе.

в) Вероятность Р3 того, что сработает хотя бы одно устройство, равна вероятности события, обратному к тому, что ни одно устройство не сработает:

Ответ. а) 2,53%, б) 24,73%, в) 99,92%

Задача 2. В каждом испытании некоторое событие А происходит с вероятностью р=0,5. Произведено 1600 независимых испытаний. Найти границы для частости, симметричные относительно р, которые можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение. Имеем биномиальное распределение. Находим математическое ожидание количества событий А: М(х)=np=0,5*1600=800.
Находим дисперсию: D(х)=npq=1600*0,5*(1-0,5)=400.
Находим среднее квадратическое отклонение: σ= =20.
По таблице Лапласа находим .
Интервал с вероятностью 0,95:

Интервал для частости: .

Ответ. Интервал для частости

Задача 3. Каждый пятый клиент банка приходит брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания пять человек.
Составить закон распределения числа клиентов, которые пришли снять проценты с вклада. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Вероятность того, что клиент пришел за процентами с вклада, равна р=0.2.
Случайная величина Х – число человек, пришедших в банк за процентами с вклада – имеет биномиальное распределение с параметрами n=5 и р=0.2:

0 1 2 3 4 5
0,32768 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,00032

(Закон распределения числа клиентов задается таблицей.)
Находим математическое ожидание М(Х) случайной величины Х:

Находим дисперсию D(Х) случайной величины Х:

Ответ. Математическое ожидание числа клиентов, пришедших в банк за процентами с вклада, равно 1, дисперсия равна 0,8.

Контрольная работа №4.

Задача 1. В некотором городе по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было обследовано 80 магазинов розничной торговли из 2500 с целью изучения объема розничного товарооборота. Получены следующие данные.
Товарооборот, у.е. Менее 60 60-70 70-80 80-90 90-100 Более 100 Итого
Число магазинов 12 19 23 18 5 3 80

Найти:
а) вероятность того, что средний объем розничного товарооборота во всех магазинах города отличается от среднего объема розничного товарооборота, полученного в выборке, не более чем на 4 у.е. (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у.е.;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема розничного товарооборота (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение. Находим выборочную среднюю:

Товарооборот, у.е. Менее 60 60-70 70-80 80-90 90-100 Более 100
55 65 75 85 95 105
( – середины соответствующих интервалов; крайние незамкнутые интервалы заменены интервалами соответствующей длины)

Находим выборочную дисперсию:

Выборочное среднее квадратическое отклонение: .

а)По теореме Ляпунова ( ):

где - функция Лапласа. По условию:

Формула расчета ошибки выборки для собственно-случайного бесповторного отбора для средней:

То есть:

б) Формула расчета ошибки выборки для собственно-случайного бесповторного отбора для доли:

где – выборочная доля магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у.е.

По таблицам значений функции Лапласа находим:

Границы:

в) Учитывая
Объем необходимой бесповторной выборки для собственно-случайного отбора для средней определяется по формуле:

Ответ. а) вероятность того, что средний объем розничного товарооборота во всех магазинах города отличается от среднего объема розничного товарооборота, полученного в выборке, не более чем на 4 у.е. (по абсолютной величине), равна ;
б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля р магазинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у.е.: ;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема розничного товарооборота (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,95, равен 39.

Задача 3. Имеются следующие выборочные данные о рыночной стоимости квартир Y(тыс. у. е.) и их общей площади X ( ).
y
x 13-18 18-23 23-28 28-33 33-38 Итого

33-49 4 2 1 7
49-65 2 6 4 1 13
65-81 1 4 9 4 1 19
81-97 3 6 3 12
97-113 1 3 5 9
Итого
7 12 18 14 9 60

Необходимо:
1. Вычислить групповые средние и . Построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α=0.05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить стоимость квартиры общей площадью 75

Решение.
1. Вычислим групповые средние по формулам:
, .
Здесь и — середины соответствующих интервалов:

Полученные значения запишем в таблицу:

15,5 20,5 25,5 30,5 35,5 Групповые
средние по y
41 4 2 1 18,36
57 2 6 4 1 22,04
73 1 4 9 4 1 25,5
89 3 6 3 30,5
105 1 3 5 32,72
Групповые средние по x 50,143 59,667 72,1 85,57 96,1

(График с эмпирическими линиями регрессии ниже, после п.2а)
2. Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;
а) Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:

,

,
,

.
Искомые линии регрессии тогда имеют вид:

Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией.

Коэффициент регрессии показывает, как в среднем изменится результативный признак ( Y ), если факторный признак ( X ) увеличится на единицу.
В данном случае смысл коэффициента регрессии состоит в том, что увеличение общей площади квартир на 1 приводит в среднем к увеличению рыночной стоимости на (тыс. у. е.).
Коэффициент формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

б) Находим коэффициент корреляции , радикал берется с плюсом,
поскольку коэффициенты и положительны:

Оцениваем коэффициент значимости корреляции:

По таблице значений критерия Стьюдента для уровня значимости в 0,05 находим . Так как коэффициент значимости значительно отличается от нуля, делаем вывод, что связь тесная и прямая.
в) По найденному уравнению регрессии оцениваем стоимость квартиры общей площадью 75 .
( тыс. у. е)
Ответ.
1. Групповые средние:

2. а) Уравнения регрессии:

б) Коэффициент корреляции:

в) Стоимость квартиры общей площадью 75 равна:
( тыс. у. е.).


Скачиваний: 2
Просмотров: 1
Скачать реферат Заказать реферат