Сопряженная однородная задача

Сопряженный оператор, сопряженная однородная задача, условия разрешимости.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Сопряженная однородная задача

План.
Сопряженный оператор.
Сопряженная однородная задача.
Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.

Обозначим через Сопряженная однородная задача дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

Сопряженная однородная задача(1)

где Сопряженная однородная задача представляют собой непрерывные функции в промежутке Сопряженная однородная задача. Если Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача- дважды непрерывно дифференцируемые на Сопряженная однородная задачафункции, то имеем:

Сопряженная однородная задача(2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:

Сопряженная однородная задача(3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в
правой части (3) через Сопряженная однородная задача, т.е.

Сопряженная однородная задача(4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

Сопряженная однородная задача(5)

Оператор Сопряженная однородная задача называется сопряженным по отношению к оператору Сопряженная однородная задача. Умножая соотношение (4) на Сопряженная однородная задача и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору Сопряженная однородная задача. Таким образом, операторы Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

Сопряженная однородная задача(6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

Сопряженная однородная задача(7)

Если же Сопряженная однородная задача, то оператор Сопряженная однородная задача и дифференциальное уравнение Сопряженная однородная задачабудем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что Сопряженная однородная задача тогда и только, когда:

Сопряженная однородная задача

Таким образом, оператор Сопряженная однородная задача будем самосопряженным тогда и только тогда, когда Сопряженная однородная задача.

При этом:

Сопряженная однородная задача

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию Сопряженная однородная задача.

Дифференцируя соотношение (5) по Сопряженная однородная задача, получаем так называемую формулу Лагранжа:

Сопряженная однородная задача(8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:


Сопряженная однородная задача(9)

где

Сопряженная однородная задачаСопряженная однородная задачаСопряженная однородная задача (10)

Отметим, что:

Сопряженная однородная задача и следовательно, матрица Сопряженная однородная задача-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

Сопряженная однородная задача(11)


Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование Сопряженная однородная задачав
вектор Сопряженная однородная задача:

Сопряженная однородная задача(12),

где

Сопряженная однородная задачаСопряженная однородная задача

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе Сопряженная однородная задачадве последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентамСопряженная однородная задача. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку Сопряженная однородная задача, мы можем обратить преобразование (12) и получить:

Сопряженная однородная задача.

При этом (11) можно переписать как:

Сопряженная однородная задача

или

Сопряженная однородная задача (13),

где Сопряженная однородная задача(14)

Билинейная форма Сопряженная однородная задача в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)

Сопряженная однородная задачаи Сопряженная однородная задачаи получим:

Сопряженная однородная задача (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:

Сопряженная однородная задача(16)

Сопряженная однородная задача(17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

Сопряженная однородная задача(18)

При ненулевом векторе Сопряженная однородная задача последние две строки матрицы
А могут быть выбраны так, чтобы компоненты Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача
принимали любые требуемые значения, лишь бы Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задачане
обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать
из условия Сопряженная однородная задача. При этом из соотношения
(11) следует, что Сопряженная однородная задача. Аналогичным образом, нижние строки
матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства Сопряженная однородная задача.
При этом из соотношения (11) вытекает, что Сопряженная однородная задача. Таким образом,
задача, сопряженная задаче Сопряженная однородная задача(19)

имеет вид:

Сопряженная однородная задача (20)

где Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача связаны с компонентами
Сопряженная однородная задача вектора Сопряженная однородная задачасоотношением
(14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда
Сопряженная однородная задачаи каждая из двух компонент Сопряженная однородная задача и
Сопряженная однородная задача является линейной комбинацией Сопряженная однородная задача
и Сопряженная однородная задача, т.е. Сопряженная однородная задачапропорциональна Сопряженная однородная задача.

Один из определителей:

Сопряженная однородная задача

матриц-блоков

Сопряженная однородная задача

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что Сопряженная однородная задача. Далее, выберем такие Сопряженная однородная задачаи Сопряженная однородная задача, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.

Например, положим Сопряженная однородная задачаи Сопряженная однородная задача.

При этом матрица А примет вид:

Сопряженная однородная задача(21).

Из формулы (19) следует, что Сопряженная однородная задача.

Тогда

Сопряженная однородная задача(22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Сопряженная однородная задача

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

Сопряженная однородная задача (22)

Сопряженная однородная задача (23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы Сопряженная однородная задача и чтобы каждая из компонент Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача являлась линейной комбинацией Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача. Как указывалось выше, Сопряженная однородная задача тогда и только тогда, когда Сопряженная однородная задача. При этом условия (21) и (20) принимают вид:

Сопряженная однородная задача(24)

Разрешая равенства относительно Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача при Сопряженная однородная задача и заменяя Сопряженная однородная задача на Сопряженная однородная задача, получаем:

Сопряженная однородная задача(25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

Сопряженная однородная задача(26)

Краевая задача при Сопряженная однородная задача самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство Сопряженная однородная задача.


Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

Сопряженная однородная задача(27)

Сопряженная однородная задача,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

Сопряженная однородная задача(27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь Сопряженная однородная задача и Сопряженная однородная задача с вектором Сопряженная однородная задача, описываемую формулой (14а) т.е.:

Сопряженная однородная задача(28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

Сопряженная однородная задача

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат