Сложение колебаний

Векторная диаграмма. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

     


    Реферат

           
                     На тему «Сложение
колебаний»

             Студента I –го курса гр. 107


 Шлыковича Сергея


                                                                


      Минск 2001


Векторная диаграмма

            Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.


Сло­жение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
становится нагляд­ным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.


Сложение колебанийВозьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся
величину  x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во
вращение с угло­вой скоростью щ0, то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси x в пределах от —А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону


Сложение колебаний


Следовательно,   проекция   конца    вектора на ось будет совершать гармонические  колебания   с 
ам­плитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому
вектором с осью в начальный момент времени.


Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого рав­на амплитуде колебания, а направление
образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.


Рассмотрим сложение двух гармонических коле­баний одного направления и одинаковой частоты.
Результирующее колебание будет суммой колеба­ний х1 и x2, которые определяются функциями


Сложение колебаний, Сложение колебаний  (1)


Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2.
Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке вид­но, что проекция этого вектора на ось x равна сум­ме
проекций складываемых векторов:


Сложение колебаний


Сложение колебанийПоэтому, вектор A представляет
собой резуль­тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ0, как и векторы А1
и А2, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с
частотой (щ0, амплитудой A и начальной фа­зой б. Используя теорему косинусов получаем, что


Сложение колебаний           (2)


Также, из рисунка видно, что


Сложение колебаний                                         (3)


Представление гармонических колебаний с помощью    векторов    позволяет    заменить сложение функций
сложением  векторов, что значительно проще.


  Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.


Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x и y, изменяющие­ся со
временем с одинаковой частотой щ по гармони­ческому закону, то


Сложение колебаний       Сложение колебаний              (1)


Где ex и — орты координатных
осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной
точки (частицы) из положения равновесия.


В случае колеблющейся частицы величины


Сложение колебаний, Сложение колебаний                   (2)


определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз
обоих колебаний. Выражения (2) пред­ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном
виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравне­ния следует, что


Сложение колебаний (3) Соответственно      Сложение колебаний (4)


Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:


Сложение колебаний


Подставим вместо cos щt и sinщt их значения (3) и (4):


Сложение колебаний


Сложение колебаний


Преобразуем это уравнение


Сложение колебаний


Сложение колебаний


Сложение колебаний


Сложение колебаний          (5)


Это уравнение эллипса, оси которого по­вернуты относительно координатных осей х и у. Ори­ентация эллипса и его полуоси
зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.


Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.


1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:


Сложение колебаний


Отсюда получается уравнение прямой:


Сложение колебаний 


Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и ам­плитудой,
равной Сложение колебаний  (рис. 1 а).


2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение   (5)  имеет вид


Сложение колебаний


Следовательно, результирующее движение представ­ляет собой гармоническое колебание вдоль
прямой


Сложение колебаний   (рис. 1 б)


Сложение колебаний


                                                                       Рис.1

Сложение колебаний3. При Сложение колебаний уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:


Сложение колебаний


Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту­дам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс
превращается в окружность.


Случаи Сложение колебанийи Сложение колебаний отличаются на­правлением движения по эллипсу или окружности.


Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма
двух взаимно перпен­дикулярных колебаний:


Сложение колебаний,    Сложение колебаний


(знак плюс в выражении для у соответствует движе­нию против часовой стрелки, знак минус — движе­нию по
часовой стрелке).


Если частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, на­зываемых фигурами
Лиссажу.



Сложение колебанийСложение колебаний 


Фигура Лиссажу для


отношения   ча­стот 1:2 и


разности фаз р/2


Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат