Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

Измерение длины самоаффинных фрактальных кривых, являющихся графиками функций. Измерение длины других самоаффинных кривых, в частности следов движения Пеано.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Самоаффинные фрактальные множества II.
Размерности длины и поверхности
1.
Введение

Представляется соблазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля, последовательно уменьшая его раствор, или измерить
площадь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции. Для обычных кривых такая процедура дает хороший результат. В то же время известно,
что уже для обычных поверхностей (например, для цилиндра) возникают аномалии; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе площадей Шварца,
который заслуживает широкой известности и будет обсуждаться ниже. Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности.
Попытаемся использовать такую процедуру для самоаффинных фракталов и покажем, что размерности, к которым она приводит, отличаются от массовой и клеточной
размерностей.


2. Измерение длины самоаффинных фрактальных
кривых, являющихся графиками функций
2.1. Измерение длины с использованием «сосиски» Минковского дает локальную
и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG

Следуя Минковскому и Булигану, определим приближенную длину кривой В(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности), используя «сосиску» Минковского, содержащую все точки на расстоянии, меньшем
чемСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности, от данной точки кривой. Для обычной спрямляемой кривой и при Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности<< 1 В(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) = (2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)-1 (площадь сосиски). Для самоподобной кривой (см. [2], с. 36) B(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)~Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности1-D,
для самоаффинной кривой площадь сосиски при малых Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиведет себя
как N(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности-2
~ Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиH, и поэтому локальная размерность равна 2—Н. Глобальная размерность равна
1. Оба этих значения встречались в части I данной статьи.


2.2. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации
последнего выхода кривой дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с
DML и DMG

В одном из многих методов нахождения длины спрямляемой кривой используется измерительный циркуль, перемещающийся вдоль кривой. На кривой могут быть узлы,
т. е. кратные точки произвольного порядка; достаточно, чтобы точки кривой были упорядочены, например «во времени». Начнем с исходной точки р0.
Первая точка Р1 будет первым выходом кривой из круга с центром в ро и радиусом Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностии т. д. Если обозначить через L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) длину
возникающей ломаной линии, приближенно описывающей нашу кривую, то длина кривой будет lim Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности0 L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности).


Можно выбрать в качестве P1 точку последнего, а не первого выхода вдоль кривой. И можно также двигаться назад.


Для самоподобной кривой находим L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) ~ Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности1-D, и снова по желанию можно отмечать либо первый, либо последний выход кривой.


Для наших самоаффинных кривых ситуация оказывается совершенно иная. Кроме локальной размерности при Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности0 имеется также глобальная размерность, которая, как мы увидим, равна 1. И
локальная размерность, полученная при помощи измерительного циркуля, имеет два совершенно различных значения, одно для последних, а другое для первых выходов.
Прежде чем двигаться дальше, заметим, что для самоподобных функций рассмотрение становится проще (а результаты не меняются), если круг с центром в точке Pk
заменить квадратом.


Если воспользоваться этим обстоятельством, то рассмотрение последних выходов становится простым. Покроем нашу кривую (b''k)2-H
квадратами со стороной (b")k<<1; это дает D>2—H. Далее добавим кольцо из 8 таких же квадратов вокруг каждой ячейки и тем
самым увеличим сторону втрое. Ясно, что (b"k)2-H шагов циркуля с раствором 3(b")-k достаточно, чтобы пройти
вдоль кривой, поэтому размерность, полученная с помощью измерительного циркуля, меньше 2—Н. Следовательно, она равна 2-H.


2.3. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации первых
выходов дает «аномальные размерности». Локальное значение размерности при малых
Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиравно 1/Н.
Эта величина совпадает с фрактальной размерностью фрактального следа,
связанного с функцией. Для больших п размерность равна 1

В этом разделе приведены результаты, полученные в работе [I].


При Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности>> tс
(например, когда единица измерения ВH достаточно мала) график по сути дела близок к горизонтальной линии. При передвижении измерительного
циркуля вдоль кривой


он в основном остается параллельным оси t, и L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) слабо
меняется с изменениемСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности. Если считать, что L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)~Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности1-D,
тогда то обстоятельство, что L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) является константой, дает для глобальной размерности значение 1 независимо от Н.


Если, наоборот, Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности<<
tc (например, когда единица измерения ВH велика), то ситуация оказываетя иной: измеритель, передвигающийся вдоль кривой,
в основном остается параллельным оси В. В результате получаем размерность, равную 1/Н.


Это чрезвычайно странное значение может превышать 2 и является аномальным вдвойне:
оно противоречит значению 2-Н, которое получалось при других локальных определениях фрактальной размерности. С другой стороны, те, кто знакомы с
фрактальным броуновским движением, могут отождествить 1/Н с фрактальной размерностью следа (в некотором E-мерном евклидовом пространстве RE
при Е > 1/Н) движения, для которого координаты Е представляют собой независимые реализации Вн(t).


В этом случае попытка использовать необычный путь для измерения фрактальной размерности для одного множества в действительности заканчивается измерением
значения, которое все пути дают для некоторого другого множества.


2.4. Размерности, связанные с покрытием аффинными прямоугольниками

В утом разделе мы хотим связать измерение длины с вопросами, обсуждавшимися в разд. 8, части I статьи. В обоих предельных случаях Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности>> 1 или Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности<<
1 число шагов измерителя L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)/Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностидля всех практических случаев равно числу прямоугольных ячеек высотой Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности=(b"}k и шириной (b')-k, используемых для покрытия фрактала. При
обычном определении размерности фрактала выбираются квадратные ячейки, и число ячеек находится как функция их диаметра. Аналогичную формулировку можно
применить и для величины Z.(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)/Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности, если в качестве диаметра прямоугольной ячейки выбрать ее большую сторону. В локальном
случае наибольшей стороной является вертикальная, и мы приходим, как и в разд. 2.3, к размерности 1/Н. В глобальном случае наибольшей стороной является
горизонтальная, так что размерность равна 1.


3. Измерение длины других самоаффинных
кривых, в частности следов движения Пеано

К этому интересному случаю могут быть применены аргументы, аналогичные использованным в разд. 2.3.


Локальное значение. Использование измерительного циркуля раствором (b")-k << 1 потребует Nk шагов, и
поэтому показатель для приближенного значения длины равен logb"(b"N-1)=1
-logb"N, так что размерность равна logb" N. В частности, в случае Пеано N = b'b" и размерность равна 1 +
1/H.


Глобальная размерность. Она равна logb'N и в случае Пеано принимает значение 1+ Н.


4. Парадокс площадей Шварца

Триангуляция обычных поверхностей оказывается делом гораздо более сложным, чем можно было бы ожидать. В частности, в конце XIX в. Герман Амандус Шварц
показал, что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты безобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой
поверхности любую величину: от истинного значения 2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности до
бесконечности!


Поступим следующим образом: разделим цилиндр по высоте на п слоев плоскостями z=р/п (р—целое число больше нуля) и выделим на окружностях с
четным номером уровня точки Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности= (2q+1)Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности /m (q—целое), а на окружностях с нечетным номером уровня — точки Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности= 2qСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности/m. Соединим каждую точку (z,Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) с точками (z Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности1/n, Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности/m). Таким образом, боковая поверхность единичного цилиндра приближенно представлена
2mn
равными треугольниками. Теперь, чтобы получить истинную площадь, кажется естественным сложить площади этих треугольников и затем произвольным
образом независимо устремить nСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности, m Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности.


Прямое вычисление показывает, что для больших m эта площадь приближенно равна 2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиsqrt( [1 + (Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности4/4)n2/m4]
). Если т Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности, но n/m2
Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности0, то это приближенное выражение действительно сходится к величине 2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности. Однако, если т Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностии п = Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиm2
(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности= const > 0), мы получим произвольное конечное значение, превышающее 2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности! И мы можем сказать, кроме того, что, выбирая п ~ mСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности, Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности> 2, можно добиться, чтобы приближенное значение площади возрастало как произвольная
степень либо 1/т, либо 1/п, либо площади треугольника, пропорциональной 1/тп. Цилиндр оказывается похожим на фрактал! Его
площадь неограниченно возрастает при таком способе измерения.


Причиной такого поведения является следующее обстоятельство: при переходе к пределу т/п Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностимы используем треугольники, которые а) становятся все более и более узкими, т. е.
имеют хотя бы один угол, стремящийся к нулю, и б) лежат в плоскостях, стремящихся стать перпендикулярно боковой поверхности цилиндра. При этом
возникающая поверхность становится все более и более «волнистой» и все больше удаляется от истинной поверхности.


Реакция прагматика была бы следующей — избегать узких треугольников. Ответ математика: «парадокс площадей Шварца» относился к числу проблем,
способствовавших .развитию современной математики. В частности, этот парадокс стимулировал Минковского дать корректные определения длины и площади через
объемы все более тонких «сосисок» Минковского для кривых и все более тонких «шарфов» Минковского для поверхностей. Эти множества состоят из всех точек
внутри Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности-окрестности некоторой точки кривой или поверхности. Так, Минковский определяет площадь
обычной поверхности как

lim (1/2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) x (объем Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности-шарфа).
Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности0

Скачиваний: 0
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат