Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром
(алгебра и начала анализа)

Курсовая работа


Исполнитель: Бугров С К.


Москва, 2003


Введение


Изучение
многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к
решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные
билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее
трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на
немногочисленных факультативных занятиях.


Готовя
данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления
наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд
графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и
неравенств с параметрами.


В
моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их
систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут
мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.


§
1. Основные
определения


Рассмотрим
уравнение


¦(a,
b, c, …, k,
x)=j(a,
b, c, …, k,
x),     (1)


где
a, b, c, …, k,
x -переменные величины.


Любая
система значений переменных


а
= а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,


при
которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА,
bÎB,
…, xÎX.
Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно
по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим
уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.


Переменные
a, b, c, …, k,
которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а
само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.


Параметры
обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k,
l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.


Решить
уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров
существуют решения и каковы они.


Два
уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:


а)
они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;


б)
каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.


§
2. Алгоритм
решения.


Находим
область определения уравнения.


Выражаем
a как функцию от х.


В
системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х,
которые входят в область определения данного уравнения.


Находим
точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с
пересекает график а=¦(х),
то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение
а=¦(х)
относительно х.


Записываем
ответ.


I.
Решить уравнение


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)              (1)


Решение.


Поскольку
х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) или Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


График
функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения
определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.


Если
а Î
(-¥;-1]È(1;+¥)ÈРешение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной
точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) относительно х.


Таким
образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Если
а Î
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух
точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), получаем


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Если
а Î
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , то прямая у=а не
пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.


Ответ:


Если
а Î
(-¥;-1]È(1;+¥)ÈРешение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);


Если
а Î
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);


Если
а Î
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , то решений нет.


II.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) имеет три различных
корня.


Решение.


Переписав
уравнение в виде Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и рассмотрев пару
функций                              Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , можно заметить, что
искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям
графика функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком
функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).  


В
системе координат хОу построим график функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)). Для этого можно представить её в виде Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и, рассмотрев четыре
возникающих случая, запишем эту функцию в виде


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Поскольку
график функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) – это прямая, имеющая
угол наклона к оси Ох, равный Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , и пересекающая ось
Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки
пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика
функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Поэтому находим производную Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 


Ответ:
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


III.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


имеет
решения.


Решение.


Из
первого уравнения системы получим Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Следовательно, это
уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) “скользят” вершинами по оси абсцисс.


Выделим
в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 


Множеством
точек плоскости Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа),
удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)     и     Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Выясним,
при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы
одну общую точку с одной из полученных прямых.


Если
вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается


прямой
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)), то
рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”
совпадает с точкой А, то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Случай
касания “полупараболы” с прямой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) определим из условия существования
единственного решения системы


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


В
этом случае уравнение


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


имеет
один корень, откуда находим :


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Следовательно,
исходная система не имеет решений при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), а при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) или Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) имеет хотя бы одно решение.


Ответ:
а Î
(-¥;-3]
È(Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);+¥).


IV.
Решить уравнение


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)    


Решение.


Использовав
равенство Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), заданное
уравнение перепишем в виде


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Это
уравнение равносильно системе


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Уравнение
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) перепишем в виде


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).       (*)      


Последнее
уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим
графики функций Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Из графика следует, что при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) графики не пересекаются и, следовательно,
уравнение не имеет решений.


Если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) графики функций совпадают и, следовательно,
все значения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) являются решениями уравнения (*).


При
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) графики пересекаются в одной точке, абсцисса
которой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Таким
образом, при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) уравнение (*) имеет единственное решение - Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Исследуем
теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут
удовлетворять условиям


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Пусть
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), тогда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Система
примет вид


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Её
решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , можно заключить, что при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) исходному уравнению удовлетворяют все значения
х из промежутка [3; 5).


Рассмотрим
случай, когда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) . Система неравенств примет вид


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 


Решив
эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), поэтому при
аÎ
(3;7) исходное уравнение имеет единственное решение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Ответ:


если
аÎ
(-¥;3),
то решений нет;


если
а=3, то хÎ
[3;5);


если

(3;7), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);


если

[7;+¥),
то решений нет.


V.
Решить уравнение


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , где а - параметр.     (5)


Решение.


При
любом а : Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Строим
график функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , выделяем ту его часть , которая
соответствует Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Затем
отметим ту часть графика функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , которая соответствует Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


По
графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при
каких – не имеет решения.


Ответ:


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то решений
нет;


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


VI.
Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), при которых
системы


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)         (1)


и


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)        (2)


имеют
одинаковое число решений ?


Решение.


С
учетом того, что Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) имеет смысл только при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), получаем
после преобразований систему


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)             (3)


равносильную
системе (1).


Система
(2) равносильна системе


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)    (4)   


Первое
уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение
задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и
радиусом Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 


Поскольку
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), а Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), и,
следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) окружность касается прямой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и система (4) имеет пять решений.


Таким
образом, если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система
(4) имеет четыре решения, если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то таких
решений будет больше, чем четыре.


Если
же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет
четыре решения в случае, когда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), и больше
четырех решений, если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Обратимся
теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в
плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах.
Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.


При
фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре
решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , иметь общие точки с гиперболой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) (прямая Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) всегда имеет одну точку пересечения с графиком
функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)).


Для
решения этого рассмотрим уравнение


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа),


которое
удобнее переписать в виде


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Теперь
решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), т.е. если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система
(3) имеет два решения;


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система
(3) имеет три решения;


если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система
(3) имеет четыре решения.


Таким
образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет
место, когда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Ответ:
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


II. Неравенства с параметрами.


§1. Основные определения


Неравенство


¦(a,
b, c, …, k,
x)>j(a,
b, c, …, k,
x),     (1)


где
a, b, c, …, k
– параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством
с одним неизвестным, содержащим параметры.


Любая
система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой
функции


¦(a,
b, c, …, k,
x) и


j(a,
b, c, …, k,
x


имеют
смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений
параметров.


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)называется
допустимым значением х, если


¦(a,
b, c, …, k,
x) и


j(a,
b, c, …, k,
x


принимают
действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.


Множество
всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).


Действительное
число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство


¦(a,
b, c, …, k,
x0)>j(a,
b, c, …, k,
x0)


верно
при любой системе допустимых значений параметров.


Совокупность
всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого
неравенства.


Решить
неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует
общее решение и каково оно.


Два
неравенства


¦(a,
b, c, …, k,
x)>j(a,
b, c, …, k,
x) и  (1)


z(a,
b, c, …, k,
x)>y(a,
b, c, …, k,
x)   (2)


называются
равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же
множестве систем допустимых значений параметров.


§2. Алгоритм решения.


Находим
область определения данного неравенства.


Сводим
неравенство к уравнению.


Выражаем
а как функцию от х.


В
системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х,
которые входят в область определения данного неравенства.


Находим
множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.


Исследуем
влияние параметра на результат.


найдём
абсциссы точек пересечения графиков.


зададим
прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥


Записываем
ответ.


Это
всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с
использованием стандартной системы координат хОy.


§3.
Примеры


I.
Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение.


В
области определения параметра а, определённого системой неравенств


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


данное
неравенство равносильно системе неравенств


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Если
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то решения
исходного неравенства заполняют отрезок Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Ответ:
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


II.
При каких значениях параметра а имеет решение система


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение.


Найдем
корни трехчлена левой части неравенства –


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)        (*)


Прямые,
заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре
области, в каждой из которых квадратный трехчлен


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


сохраняет
постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале
координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован


ной
области с окружностью, где Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), а значения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) находятся из системы


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


а
значения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) находятся из системы


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решая
эти системы, получаем, что


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Ответ:
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


III.
Решить неравенство Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) на Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) в зависимости от значений параметра а.


Решение.


Находим
область допустимых значений – Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Построим
график функции в системе координат хОу.


при
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) неравенство решений не имеет.


при
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) для Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) решение х удовлетворяет соотношению Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), где Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Ответ:
Решения неравенства существуют при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), где Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , причем при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) решения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа); при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) решения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) .


IV.
Решить неравенство


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение.


Находим
ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)           Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Найдем
уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к
равенству :


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Разложим
числитель на множители.


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


т.
к. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) то


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Разделим
обе части равенства на Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Но Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) является решением : левая часть уравнения
равна правой части и равна нулю при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


3.
Строим в ПСК хОа графики функций


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 


и
нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять
областей.


4.
Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку
из области и подставляем в неравенство.


Для
наглядности составим таблицу.























?


точка


неравенство: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


вывод


1


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


-


2


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


+


3


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


-


4


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


+


5


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


-


6


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


+


7


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


-


8


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


+


9


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)


-


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат