Решение иррациональных уравнений

Историческая справка. Решение иррациональных уравнений. Преобразование иррациональных выражений. Уравнения с радикалом третьей степени. Введение нового неизвестного.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Решение иррациональных уравнений.

Реферат выполнен Верхошанской Светланой
Александровной, ученицей 9”Г” класса.


МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”.


Улькан


2005

Историческая справка об иррациональных уравнениях.

“Источником
алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность
задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие
значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…;
они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”.


(Лейбниц
Г.)


Одной
из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие
иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в
виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого
открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые,
вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном
общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой
древнегреческими математиками, было число Решение иррациональных уравнений. Можно с определённой уверенностью считать, что исходным
пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма
попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно
также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление
октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный
для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам.


Древние
математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство
иррациональности числа Решение иррациональных уравнений путём сведения этого
доказательства к формальному противоречию. Пусть Решение иррациональных уравнений, где m и n – взаимно простые числа. Тогда m2=2n2, откуда
следует, что т2 чётное и, следовательно, п2 чётное. Чётно, следовательно и п. Получающееся
противоречие (п не может быть одновременно и чётным и нечётным) указывает на
неверность посылки, что число Решение иррациональных уравнений рационально.


Для
исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же
оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть
Решение иррациональных уравнений, где p и g - взаимно просты, а п является произведением
только первых степеней сомножителей отсюда р2=пg2. Если t – простой делитель п,
то р2 (а значит, и р) делится на t. Следовательно, р2 делится на t2. Но в п
содержится только первая степень t. Значит g2 (равно как и g) делится на t. Но
этот результат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты.


Вслед
за иррациональностью числа Решение иррациональных уравнений были открыты многие
другие иррациональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.) доказал
иррациональность чисел вида Решение иррациональных уравнений. Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность
квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, которые не являются полным квадратом.
Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей.


С
появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные
трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.

Решение иррациональных уравнений.

Уравнения,
в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.
Таково, например, уравнение Решение иррациональных уравнений.


При
решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому,
например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное
равенство. В самом деле, неверное равенство Решение иррациональных уравнений при возведении в
квадрат даёт верное равенство 12= (-1)2, 1=1.


Иногда
удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.


Пример
1. Решим уравнение Решение иррациональных уравнений.


Возведём
обе части этого уравнения в квадрат и получим Решение иррациональных уравнений, откуда следует, что Решение иррациональных уравнений, т.е. Решение иррациональных уравнений.


Проверим,
что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при
подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:


Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений 


Следовательно,
x=3 или x=-3 – решение данного уравнения.


Пример
2. Решим уравнение Решение иррациональных уравнений.


Возведя
в квадрат обе части уравнения, получим Решение иррациональных уравнений. После преобразований приходим к квадратному уравнению Решение иррациональных уравнений, корни которого Решение иррациональных уравненийи Решение иррациональных уравнений.


Проверим,
являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него
числа 4 получим верное равенство Решение иррациональных уравнений, т.е. 4 - решение данного уравнения. При подстановке же
числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1
не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный
в результате принятого способа решения.


Ответ:
Решение иррациональных уравнений.


Пример
3. Решим уравнение Решение иррациональных уравнений.


Возведём
обе части этого уравнения в квадрат: Решение иррациональных уравнений, откуда получаем уравнение Решение иррациональных уравнений, корни которого Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений. Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного
уравнения, т.к. обе части его не определены при Решение иррациональных уравнений. При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное
равенство Решение иррациональных уравнений, следовательно, решением данного уравнения является только
число 2.


Пример
4. Решим уравнение Решение иррациональных уравнений.


Возведя
в квадрат обе части этого уравнения, получаем Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений. Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем
данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений.


Пример
5. Решим уравнение Решение иррациональных уравнений.


По
определению Решение иррациональных уравнений - это такое
неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими
словами, уравнение Решение иррациональных уравненийравносильно системе:


Решение иррациональных уравнений Решение иррациональных уравнений 


Решение иррациональных уравнений 


Решая
первое уравнение системы, равносильное уравнению Решение иррациональных уравнений, получим
корни 11 и 6, но условие Решение иррациональных уравнений выполняется только для Решение иррациональных уравнений. Поэтому
данное уравнение имеет один корень Решение иррациональных уравнений.


Пример
6. Решим уравнение Решение иррациональных уравнений.


В
отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение
содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того,
чтобы “избавиться от радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат,
а в куб: Решение иррациональных уравнений. После
преобразований получаем:


Решение иррациональных уравнений


Итак,
Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений.


Пример
7. Решим систему уравнений:


Решение иррациональных уравнений


Решение иррациональных уравненийПоложив
Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений, приходим к
системе


Решение иррациональных уравнений


Решение иррациональных уравненийРазложим
левую часть второго уравнения на множители: Решение иррациональных уравнений - и подставим в него из первого уравнения Решение иррациональных уравнений. Тогда
получим систему, равносильную второй:


Решение иррациональных уравнений


Решение иррациональных уравненийПодставляя
во второе уравнение значение v, найденное из первого Решение иррациональных уравнений, приходим к
уравнению Решение иррациональных уравнений, т.е. Решение иррациональных уравнений.


Полученное
квадратное уравнение имеет два корня: Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений.


Соответствующие
значения v таковы: Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений. Переходя к
переменным х и у, получаем: Решение иррациональных уравнений, т.е. Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений.

Преобразование иррациональных выражений.

Если
знаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразно
избавиться от последнего.


Рассмотрим
некоторые типичные случаи:


Решение иррациональных уравнений 


Пример:


Решение иррациональных уравнений


При
непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно
быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в
другой – остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в
уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения,
а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и
проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все
члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону
уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) – в другую.
Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение,
не содержащее радикалов.


Пример.
Введение новой переменной:


Решение иррациональных уравнений.


Решение:
Обозначим Решение иррациональных уравнений, тогда


Решение иррациональных уравнений


Уравнение
примет вид:


Решение иррациональных уравнений


Возведём
его в квадрат:


Решение иррациональных уравнений


Это
уравнение так же возводим в квадрат:


Решение иррациональных уравнений Решение иррациональных уравнений Решение иррациональных уравнений 


Проверка:
полученные значения t мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно
возводилось в квадрат. Проверка показывает, что Решение иррациональных уравнений - посторонний корень, а Решение иррациональных уравнений - действительно корень уравнения (1). Отсюда
получим:


Решение иррациональных уравненийРешение иррациональных уравнений Решение иррациональных уравнений


Ответ:
0;-1.

Уравнения с радикалом третьей степени.

При
решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться
сложением тождествами:


Решение иррациональных уравнений


Пример
1.


Решение иррациональных уравнений.


Возведём
обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым
тождеством:


Решение иррациональных уравнений


Заметим,
что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального
уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:


Решение иррациональных уравнений 


Раскроем
скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений. Если считать
(по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из
отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного
уравнения.


Ответ:
Решение иррациональных уравнений.


Решение
2


Возведём
две новые переменные Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений, тогда Решение иррациональных уравнений,


Решение иррациональных уравнений.


Заметим,
что Решение иррациональных уравнений.


В
итоге получим систему уравнений:


Решение иррациональных уравненийРешение иррациональных уравнений Решение иррациональных уравнений Решение иррациональных уравненийРешение иррациональных уравнений


Используя
первоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобку
единицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение Решение иррациональных уравнений, также
полученное из первого Решение иррациональных уравнений.


Приведём
подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратное
уравнение. Его корни Решение иррациональных уравнений и Решение иррациональных уравнений. Вернёмся
теперь к начальной подстановке и получим искомые решения:


Решение иррациональных уравнений

Введение нового неизвестного.

Решив
эти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее часто
использовавшийся способ их решения – введение нового(новых) неизвестного.


Пример
2.


Решение иррациональных уравнений 


Обозначим
Решение иррациональных уравнений, тогда


а)
Решение иррациональных уравнений


Уравнение
примет вид:


Решение иррациональных уравнений


Корень
Решение иррациональных уравнений не удовлетворяет условию Решение иррациональных уравнений 


Ответ:
76.


Методы
решения иррациональных уравнений.


Методы
решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с
помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным
уравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием.
Поэтому существуют два пути при решении иррациональных уравнений:


1)
переход к выводным уравнениям (следствиям) с последующей проверкой корней;


2)
переход к равносильным системам.


Второй
подход избавляет от подстановки полученных корней в исходное уравнение (иногда
такую проверку осуществить нелегко) и, вообще говоря, является более
предпочтительным. Однако если в ходе решения оказалось, что проверка полученных
корней не представляет труда, то можно не выяснять источники появления
посторонних корней и не переходить к равносильным системам.


Пример
1.


Решение иррациональных уравнений


Возведём
в 6 степень:


Решение иррациональных уравнений


Проверка:


Решение иррациональных уравнений, т.е. Решение иррациональных уравнений - верное равенство.


Ответ:
67.


Пример
2.


Решение иррациональных уравнений 


Преобразуем
уравнение к виду:


Решение иррациональных уравнений и возведём обе части в квадрат:


Решение иррациональных уравнений


Решение иррациональных уравнений, т.е.


Решение иррациональных уравненийРешение иррациональных уравнений


Ещё
раз возведём обе части в квадрат:


Решение иррациональных уравнений, т.е. Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений.


Проверка:


1)
При Решение иррациональных уравнений 


Решение иррациональных уравнений 


2)
Решение иррациональных уравнений 


Ответ:
Решение иррациональных уравнений.


Пример
3.


Решение иррациональных уравнений


Положим
Решение иррациональных уравнений. Тогда Решение иррациональных уравнений и мы получаем уравнение Решение иррациональных уравнений, откуда Решение иррациональных уравнений, Решение иррациональных уравнений.


Теперь
задача свелась к решению двух уравнений:


Решение иррациональных уравнений; Решение иррациональных уравнений. Возводя обе
части уравнения Решение иррациональных уравнений в 5-ю степень, получим Решение иррациональных уравнений, откуда Решение иррациональных уравнений.


Уравнение
Решение иррациональных уравнений - не имеет корней, поскольку под знаком
возведения в дробную степень может содержаться неотрицательное число, а любая
степень неотрицательного числа неотрицательна.


Ответ:
34.

Список литературы

1)
Справочник по математике.  В.А. Гусев,
А.Г. Мордкович.: 1986г.


2)
Углублённое изучение курса алгебры и математического анализа.  М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцабурд.:
1992г.


3)
Возникновение и развитие математической науки.  К.А. Рыбников.: 1987г.


4)
Ученикам о математике.  М.К. Гриненко.:
1993г.


Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua



Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат