Принцип Дирихле

Формулировка принципа Дирихле.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Принцип Дирихле

Андреев А.A.,
Савин А.Н., Саушкин М.Н.

Введение

При
решении многих задач используется логический метод рассуждения — "от
противного". В данной брошюре рассмотрена одна из его форм — принцип
Дирихле. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на
пнепересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней
мере, в одной части будет более одного элемента. Принцип назван в честь
немецкого математика Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к
доказательству арифметических утверждений.


По
традиции принцип Дирихле объясняют на примере "зайцев и клеток". Если
мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам
предстоит разобраться, что в ней — "клетки", а что —
"зайцы". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.
Цель этого статьи — познакомить школьника с некоторыми изюминками решения задач
на принцип Дирихле.


Статья
предназначена главным образом для старшеклассников, однако школьники младших
классов также несомненно найдут в ней много полезного.

Формулировка принципа Дирихле

Самая
популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:


ФОРМУЛИРОВКА
1. "Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в
которой сидят по крайней мере два зайца".


Заметим,
что в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты -
числа, отрезки, места в таблице и т. д.


Принцип
Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений.


ФОРМУЛИРОВКА
2. "При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в
множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие
один и тот же образ".


Несмотря
на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма
эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и
изящное решение. Однако во всех этих задачах часто нелегко догадаться, что
считать "зайцем", что - "клеткой", и как использовать
наличие двух "зайцев", попавших в одну "клетку". С помощью
принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, не
указывая, вообще говоря, алгоритм его нахождения или построения. Это даёт так
называемое неконструктивное доказательство - мы не можем сказать, в какой
именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть.


Приводимые
ниже теоремы и задачи показывают, что природа "зайцев" и
"клеток" в различных задачах может сильно отличаться друг от друга.


Пример
1. Доказать, что если прямая l, расположенная в плоскости треугольника ABC, не
проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны
треугольника.


Решение





Принцип Дирихле


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат