Применение свойств функций для решения уравнений

В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Применение свойств
функций для решения  уравнений


Т.С. Кармакова,  доцент кафедры алгебры ХГПУ


В
предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений,
основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках
функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее
значение.  Используя предлагаемые автором
задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у  учащихся более широкий взгляд на область
применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе
школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их
графиков.


В
соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего
образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99),
все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:


Разложение
на множители,


Замена
переменных,


Использование
свойств функций.


Рассмотрим
на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда,
когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не
может быть приведено к  тому или иному
стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.
Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений
указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x)  - любые элементарные функции.


Использование
области определения и области значения функций


Решить
уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции Применение свойств функций для решения  уравнений. Областью определения этой функции (в соответствии с
определением степени  с рациональным
показателем) является множество положительных действительных чисел.


Ответ:
x>0.


Решить
уравнение  sinxctgx=cosx.


Решение:
Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения.
Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций,
входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество
всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ.


Ответ:
x¹kp, где
kÎZ.


Решить
уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений.


Решение:
У этого уравнения нет корней, так как область значений функции  Применение свойств функций для решения  уравненийпри x³1 есть множество неотрицательных чисел, а функцияПрименение свойств функций для решения  уравнений при всех x принимает отрицательные значения.


Решить
уравнения:


а)
Применение свойств функций для решения  уравнений


б)
Применение свойств функций для решения  уравнений


в)
Применение свойств функций для решения  уравнений


г)
Применение свойств функций для решения  уравнений


д)
Применение свойств функций для решения  уравнений


е)
Применение свойств функций для решения  уравнений


Ответы:
а) x>0, x¹1;
б) êxê£1;
в) x¹0;
г) x³0;
д) Нет корней; е)  x¹0.


Использование
экстремальных значений функций


Сущность
этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части
уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше
некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение
заменяется системой уравнений: Применение свойств функций для решения  уравнений


Этот
способ может быть применен к решению следующих уравнений:


в
обеих частях уравнения стоят функции разного вида;


в
одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная
снизу;


в
одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой
– конкретное число.


Рассмотрим
конкретные примеры.


2.1
Решить уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
Оценим правую и левую части уравнения:


а)
Применение свойств функций для решения  уравнений, так как Применение свойств функций для решения  уравнений, а Применение свойств функций для решения  уравнений;


б)
Применение свойств функций для решения  уравнений, так как Применение свойств функций для решения  уравнений.


Оценка
частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух
при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение
равносильно системе 


Применение свойств функций для решения  уравнений


Первое
уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во
второе уравнение получаем верное числовое равенство:


Применение свойств функций для решения  уравнений


Ответ:
х=-2.


2.2
Решить уравнение    Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно,
данное уравнение равносильно  системе:


Применение свойств функций для решения  уравнений


Второе
уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное
значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.


Ответ:
х=0.


2.3
Решить уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
Оценим левую часть уравнения: Применение свойств функций для решения  уравнений, следовательно, Применение свойств функций для решения  уравнений. Получили, что в данном уравнении левая часть не больше
восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях
переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.


Ответ:
нет корней.


2.4
Решить уравнения:


а)
Применение свойств функций для решения  уравнений


б)
Применение свойств функций для решения  уравнений


в)
Применение свойств функций для решения  уравнений 


г)
Применение свойств функций для решения  уравнений


д)
Применение свойств функций для решения  уравнений


е)
Применение свойств функций для решения  уравнений


Ответы:
а) p;
б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.


Использование
монотонности функций


Этот
способ основан на следующих теоретических фактах:


Если
одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то
графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это
означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не
имеет решений;


Если
на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая
принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный
корень, либо не имеет корней.


Сущность
этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части
уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из
приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем
уравнения.


Этот
способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:


уравнения,
в обеих частях которых стоят функции разного вида;


уравнения,
в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке
функции;


уравнения,
одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.


Рассмотрим
примеры.


3.1
Решить уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции
Применение свойств функций для решения  уравнений. Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая
функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая
(это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко
находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного
уравнения.


Ответ:
х=3.


3.2
Решить уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции,
образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней
нет. Сначала рассмотрим Применение свойств функций для решения  уравнений. Исследуем ее на монотонность с помощью производной: Применение свойств функций для решения  уравнений. Решаем биквадратное уравнение


Применение свойств функций для решения  уравнений,


Применение свойств функций для решения  уравнений,


поэтому
Применение свойств функций для решения  уравнений при всех значениях хÎR.,
следовательно, функция f(x)- возрастающая.


Теперь
исследуем функцию Применение свойств функций для решения  уравнений. Как легко установить, она убывает при всех значениях хÎR.
Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень
данного уравнения.


Ответ:
х=2


3.3
Решить уравнение Применение свойств функций для решения  уравнений


Решение:
Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем
утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения –
возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду Применение свойств функций для решения  уравнений. Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а
следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция.
Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень.


Ответ:
х=1


3.4
Решить уравнения:


а)
2x3+9x2+150x-161=0


б)
13x+7x=2


в)
2x+5x=2-tgx


г)
Применение свойств функций для решения  уравнений


д)
Применение свойств функций для решения  уравнений


е)
x+2=76-x


Ответы:
а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5.


В
конце приведем список литературы, по которому читатели смогут самостоятельно
изучить, как использовать различные свойства функций при решении уравнений.

Список литературы

Аксенов
А.А. Решение задач методом оценки.//Математика в школе, 1999, №3, с. 30


Дорофеев
Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в Вузы.
М.: Наука, 1976


Литвиненко
В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: алгебра,
тригонометрия. М.: Просвещение, 1991


Шарыгин
И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов
общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995


Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru



Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат