Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа. Формула трапеций и средних прямоугольников. Общая формула Симпсона (параболическая формула). Квадратурная формула Чебышева.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Приближенное
вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

КУРСОВАЯ
РАБОТА студента 2-го курса: Полякова Е.В.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Днепропетровск 2000г.

1. Общая постановка и анализ задачи.

1.1.
Введение.

Требуется найти
определенный интеграл


 I = Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева


по квадратурной
формуле Чебышева.


Рассмотрим, что
представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью
вычислить приближенно интеграл.


Известно,Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева что определенный интеграл функции Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева типа Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева численно представляет
собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y=Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева (Рис.1).


Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева


Рис. 1.
Криволинейная трапеция.


Если f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный
интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной
всем, формуле Ньютона - Лейбница


Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева= F(b) - F(a)


 где


 F’(x) = f(x)


 Однако во многих случаях F(x) не может быть
найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.


Кроме того,
функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает
приближенное и в первую очередь численное интегрирование.


 Задача численного интегрирования состоит в
нахождении приближенного значения интеграла Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышевапо заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции
f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].


 Численное определение однократного интеграла
называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного
интегрирования - квадратурными .


 Заменяя подинтегральную функцию каким-либо
интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида


 


 Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева 


 где


 xk - выбранные узлы интерполяции;


 Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора
узлов, но


 не от вида функции (k=0,1,2,........, n).


 R - остаточный член, или погрешность
квадратурной формулы.


 Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем
погрешность усечения.


При расчете к
ней добавляются еще различные погрешности округления.


Разобьем
отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек


 xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)


 xo= a; xn= b;


 h= (b-a)/n ;


 и вычислим подинтегральную функцию в
полученных узлах


 yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)

1.2. Вывод
формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома
Лагранжа

Пусть для
y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие
значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти


Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева


По заданным
значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда


 Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева 


где Rn(f) –
ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x),
получаем приближенную квадратурную формулу:


Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева


 Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:


1.коэффициенты
Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);


2.для полинома
степени n последняя формула точная.


Пологая y=xK
(k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:


 Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева


где


Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева 


(k=0,1,..,n),
из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.


Определитель
системы есть определитель Вандермонда


 Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева 


Заметим, что
при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x)
является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул
разработан С.М. Никольским.


Теперь
рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :

1.3 Формула
трапеций и средних прямоугольников.

Заменим дугу АВ
стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой
примем за приближенное значение интеграла


Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева




B


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат