Пределы последовательностей и функций

Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Пределы последовательностей и функций

Контрольная работа по высшей математике


1. Пределы
последовательностей и функций


Числовой
последовательностью Пределы последовательностей и функций называется числовая
функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую
последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение
любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого
достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде
функции его номера: Пределы последовательностей и функций.


В
основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой
последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности Пределы последовательностей и функций, если для любого сколь угодно малого положительного числа e
существует такой номер Пределы последовательностей и функций, зависящий от выбранного e, начиная с которого все
члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т.
е.


Пределы последовательностей и функций при  Пределы последовательностей и функций.


Если
последовательность Пределы последовательностей и функций имеет предел А, то она
называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:


Пределы последовательностей и функций.


Пусть
функция Пределы последовательностей и функций определена в некоторой
окрестности точки Пределы последовательностей и функций. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь
последовательность Пределы последовательностей и функций сходящуюся к точке Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций. Значения функции в выбранных точках образуют
последовательность Пределы последовательностей и функций, и можно ставить вопрос о существовании предела этой
последовательности.


Число
А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций, если для любой сходящейся к Пределы последовательностей и функций последовательности
значений аргумента, отличных от Пределы последовательностей и функций, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу А, т. е.


Пределы последовательностей и функций.


Возможно
иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при
Пределы последовательностей и функций, если для всякого положительного числа e
можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e)
такое, что абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций будет меньше e,
когда абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций будет меньше Пределы последовательностей и функций, но больше нуля


Пределы последовательностей и функций, если  Пределы последовательностей и функций  при  Пределы последовательностей и функций.


Таким
образом, первое определение предела функции основано на понятии предела
числовой последовательности, и его называют определением на «языке
последовательностей». Второе определение носит название «на языке Пределы последовательностей и функций».


Кроме
понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при
стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций при Пределы последовательностей и функций, если для любого числа Пределы последовательностей и функций существует такое число
d,
что при всех Пределы последовательностей и функций справедливо
неравенство Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций.


Теоремы
о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций.
Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в
точке Пределы последовательностей и функций, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.


Примеры


Найти
предел функции          Пределы последовательностей и функций


Решение:
Имеем неопределенность вида Пределы последовательностей и функций. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на
множители и сократим на общий множитель Пределы последовательностей и функций, который при Пределы последовательностей и функций не равен нулю. В результате неопределенность
будет раскрыта.


Пределы последовательностей и функций


2. Производная и
дифференциал


Пусть
функция Пределы последовательностей и функций определена в некоторой окрестности точки Пределы последовательностей и функций.


Производной
функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций называется предел отношения Пределы последовательностей и функций, когда Пределы последовательностей и функций (если этот предел существует). Производная
функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций обозначается


Пределы последовательностей и функций.


Например,
выражение Пределы последовательностей и функций следует понимать как производную функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций.


Определение
производной можно записать в виде формулы


Пределы последовательностей и функций.                 (4.1)


Предел
(4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция Пределы последовательностей и функций не имеет производной в точке Пределы последовательностей и функций. Если предел
(4.1) равен Пределы последовательностей и функций, то говорят,
что функция Пределы последовательностей и функций имеет в точке Пределы последовательностей и функций бесконечную производную.


В
различных задачах (в том числе и экономических) производная функции Пределы последовательностей и функций интерпретируется как скорость изменения
величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что Пределы последовательностей и функций – это тангенс угла наклона касательной к
графику Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций.


Нахождение
производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в
точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в
этой точке.


Укажем
правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций
к вычислению производных других (более простых) функций.


Если
функции Пределы последовательностей и функций дифференцируемы в точке Пределы последовательностей и функций, то сумма,
разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке Пределы последовательностей и функций, и
справедливы следующие формулы


Пределы последовательностей и функций.


Если
функция Пределы последовательностей и функций имеет обратную функцию Пределы последовательностей и функций и в точке Пределы последовательностей и функций производная Пределы последовательностей и функций, то обратная
функция Пределы последовательностей и функций дифференцируема в точке Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций или Пределы последовательностей и функций.


Если
функция Пределы последовательностей и функций дифференцируема в точке Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций, то сложная
функция Пределы последовательностей и функций также дифференцируема в Пределы последовательностей и функций и верна следующая формула


Пределы последовательностей и функций  или  Пределы последовательностей и функций.


Пример.


Найти
производную функции           Пределы последовательностей и функций


Решение:


Пределы последовательностей и функций


3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления
(построение графиков)


Функция
Пределы последовательностей и функций, определенная
во всех точках промежутка Пределы последовательностей и функций, называется
возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений
аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует
большее (меньшее) значение функции, т. е,


если
Пределы последовательностей и функций то при


Пределы последовательностей и функций – возрастающая, Пределы последовательностей и функций – убывающая.


Из
данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента
и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: Пределы последовательностей и функций. Для
убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего Пределы последовательностей и функций. Те значения
аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по
сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками
экстремума).


Точка
Пределы последовательностей и функций называется точкой максимума (минимума)
непрерывной функции Пределы последовательностей и функций, а значение Пределы последовательностей и функций называется максимумом (минимумом) этой
функции, если существует некоторая окрестность точки Пределы последовательностей и функций такая, что значение функции в любой точке этой
окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке Пределы последовательностей и функций, т. е. меньше
(больше), чем максимум (минимум) Пределы последовательностей и функций (рис. 1).


Пределы последовательностей и функцийПределы последовательностей и функцийу                
max        у


min


f(х0)                                                 f(х0)


О  х0–d       х0     х0+d   х          
О х0–d         х0    
     х0+d х





точка максимума


точка минимума


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат