Подъем инвариантов классических групп

Пусть G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов — B, C, D, над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Подъем инвариантов классических групп

А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический
университет, кафедра алгебры


Пусть
G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D,
над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n)
канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное
действие группы G на Подъем инвариантов классических групп- m
экземплярах пространства Подъем инвариантов классических группматриц M(n)
сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов
In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место
естественный эпиморфизм Подъем инвариантов классических групп, который
индуцирован каноническим отображением Подъем инвариантов классических групп, где Подъем инвариантов классических групптогда и только
тогда, когда Подъем инвариантов классических групп, или Подъем инвариантов классических групп(для
симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне
"центрального" Подъем инвариантов классических групп-блока). На
остальных местах отображение тождественно.


Все
необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ),
можно найти в [5].


Мы
будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть Подъем инвариантов классических групп.


Cлучай
B, D. Мы будем предполагать, что Подъем инвариантов классических групп. Подходящим
образом изменяя базис, мы можем считать, что Подъем инвариантов классических групп. Более того,
так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что Подъем инвариантов классических групп.


Пара
аффинных G-многообразий Подъем инвариантов классических групп(G -
произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G- модули
с ХФ. Здесь IV - это идеал Подъем инвариантов классических групп. Пусть
W=M(n), V= C(A)=CG(A), где Подъем инвариантов классических групп. Наша задача
сейчас - показать, что Подъем инвариантов классических группи, что Подъем инвариантов классических групп- хорошая пара.


Нетрудно
проверить, что  g-1Ag = En + (a-1)(xij),
где xij = g1ig1j, g=(gij), En - единичная матрица. Обозначим через M(n)r
множество матриц ранга Подъем инвариантов классических групп, а через S -
подпространство симметрических матриц в M(n).


Лемма
1. Класс сопряженности V совпадает с Подъем инвариантов классических групп, где T - это
множество всех матриц, удовлетворяющих условиям Подъем инвариантов классических групп.


Обозначим
множество Подъем инвариантов классических группчерез L


Доказательство.
Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида
(xiyj), где Подъем инвариантов классических группнезависимо
пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть Подъем инвариантов классических группи лежит в Подъем инвариантов классических групп. Тогда xiyj =
yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь Подъем инвариантов классических групп. Тогда из
xi0yj0 = yi0xj0 следует, что Подъем инвариантов классических групп. Далее, если
xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0
тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов
отношение xi/yi является константой. Обозначим ее t. Переходя к параметрам
xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в
уравнения определяющие T и используя то, что Подъем инвариантов классических групп, мы получим,
что Подъем инвариантов классических групп. Достроим
cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и
расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g.
Ясно, что Подъем инвариантов классических групп, и g-1Ag = En
+ (a-1)z. Таким образом, Подъем инвариантов классических групп. Обратное
включение очевидно.


Поскольку
Подъем инвариантов классических групп, то мы можем
воспользоваться леммой 1 (Подъем инвариантов классических групп) [7] и
заключить, что Подъем инвариантов классических групп, если
докажем, что Подъем инвариантов классических группнормальное
многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому
достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из
сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу Подъем инвариантов классических группявляется
доминантным. В частности, мы имеем вложение Подъем инвариантов классических групп. Образ этого
вложения порожден элементами xixj. Алгебра Подъем инвариантов классических группимеет
градуировку Подъем инвариантов классических групп, где R0 -
подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной. Элемент Подъем инвариантов классических групподнороден
относительно этой градуировки, поэтому Подъем инвариантов классических групп"наследует"
градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0.
Ранг якобиана Подъем инвариантов классических групправен 1 по
крайней мере на Подъем инвариантов классических групп, и Подъем инвариантов классических групп. По критерию
Серра ([6] Подъем инвариантов классических групп, теорема
5.8.6), K[Sn] нормально (Подъем инвариантов классических групп). Пусть
теперь Подъем инвариантов классических групп- целый над
R0. Так как Подъем инвариантов классических групп, то Подъем инвариантов классических группи Подъем инвариантов классических групп.
Следовательно, Подъем инвариантов классических групп, то есть Подъем инвариантов классических групп, откуда z1=0.


Согласно
предложению 6.7 [2], чтобы доказать, что Подъем инвариантов классических групп(Подъем инвариантов классических групп
отождествляется с Подъем инвариантов классических групп, где ZG(A) -
централизатор элемента A, достаточно проверить, что дифференциал Подъем инвариантов классических группсюръективен.
Однако Подъем инвариантов классических групп. Используя
формализм с двойными числами [8], имеем: Подъем инвариантов классических групп. Таким
образом, Подъем инвариантов классических групп. Отсюда ясно,
что образ Подъем инвариантов классических группимеет ту же
размерность n-1. Итак, Подъем инвариантов классических групп. Отметим еще
для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый
"нижний" Подъем инвариантов классических групп-угол - это
произвольная матрица из G(n-1), а в первом столбце и первой строке везде стоят
нули, кроме начала, где коэффициент равен Подъем инвариантов классических групп.


По
тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M(n), L) - хорошая
пара. Согласно лемме 1.3(a) [4], можно рассмотреть "башню" Подъем инвариантов классических группи проверить
каждый "скачок". Рассмотрим сначала Подъем инвариантов классических групп. Мы имеем
коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) диаграмму:


Подъем инвариантов классических групп где вертикальные стрелки - это просто
включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим "дуальную"
диаграмму:


Подъем инвариантов классических групп


В
первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во второй
- вложения. Отсюда ясно, что Подъем инвариантов классических группможно
отождествить с Подъем инвариантов классических групп(в принятых
выше обозначениях). Здесь I - идеал, порожденный элементом f. Из тех же
градуировочных соображений ясно, что Подъем инвариантов классических групп. Осталось
отметить, что f G-инвариант и, следовательно, G-модуль Подъем инвариантов классических группизоморфен R0.
То, что R0 с ХФ, будет следовать из того, что Подъем инвариантов классических групп- хорошая
пара.


Пусть
теперь Подъем инвариантов классических групппо правилу Подъем инвариантов классических групп. Ясно, что Подъем инвариантов классических групп-эквивариантное
отображение, где K* = GL(1) действует по правилу Подъем инвариантов классических групп. Напомним,
что отображение G-многообразий Подъем инвариантов классических группназывается
факторным, если Подъем инвариантов классических группсюръективно и Подъем инвариантов классических групп. Хорошо
известно, что Подъем инвариантов классических группK*-факторное
отображение [4]. Обозначим через Подъем инвариантов классических групп. Покажем, что
(U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL(n)-модули с ХФ в
G-модули с ХФ. Алгебра Подъем инвариантов классических группизоморфна Подъем инвариантов классических группкак Подъем инвариантов классических групп-модуль (Kl -
это одномерный K*-модуль с весом l). Хорошо известно, что GL(n)-модуль Sk(E(n))
с ХФ [9]. По теореме Донкина-Матье, K[U] Подъем инвариантов классических групп-модуль с ХФ.
Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G. Представим
алгебру K[U] в виде Подъем инвариантов классических групп.
Отождествление происходит по правилу Подъем инвариантов классических групп, где Подъем инвариантов классических групп- стандартный
базис E(n), а f1,f2 - E(2). Cогласно [1], Подъем инвариантов классических группимеет Подъем инвариантов классических групп-фильтрацию c
факторами Подъем инвариантов классических групп, где Подъем инвариантов классических групп- функтор
Шура, Подъем инвариантов классических групппробегает все
разбиения с Подъем инвариантов классических групп. Нетрудно
заметить, что идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации,
где Подъем инвариантов классических групп. Поскольку Подъем инвариантов классических группбез кручения
[3], то Подъем инвариантов классических групп. В частности,
IB с ХФ как G-модуль, а значит, и как Подъем инвариантов классических групп-модуль. В
итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из [4]. А
это значит в частности, что Подъем инвариантов классических групп- хорошая
пара. Осталось заметить, что (M(n), M(n)1) - хорошая GL(n)-пара по [4].
Согласно сказанному выше, это также хорошая G-пара. В частности, хорошей
G-парой будет Подъем инвариантов классических групп, что и
требуется.


Случай
C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце
повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A
остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние
строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны
и пробегают K*. Кроме того, "серединный" Подъем инвариантов классических групп-квадрат лежит
в G(n-2)=Spn-2(K). Далее, легко проверить, что класс сопряженности C(A)
совпадает с En + (a-1)L, где Подъем инвариантов классических групп. В частности,
он уже замкнут. Проверка того, что Подъем инвариантов классических группотождествляется
с факторным Подъем инвариантов классических группсовершенно
аналогична. Здесь Подъем инвариантов классических групп, образ Lie(G)
состоит из матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только
коэффициенты первой строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и
поэтому размерность образа тоже равна 2n-2. Наконец, (M(n), L) - очевидно
хорошая пара. Достаточно рассмотреть башню Подъем инвариантов классических группи использовать
то, что tr(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом случае
характеристика поля произвольна.


Пусть
теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы
2 из [5], мы получим эпиморфизм Подъем инвариантов классических групп,
индуцированный Подъем инвариантов классических групп(на остальных
общих матрицах отображение тождественно). Разбив матрицы из M(n) на блоки в
соответствии с блочным "строением" группы ZG(A), мы видим, что
пространство M(n) изоморфно (так как ZG(A)-многообразие) Подъем инвариантов классических группв
ортогональном случае и Подъем инвариантов классических группв
симплектическом. Здесь K и K4 тривиальные модули, а на En-1 (соответственно на
En-2) ZG(A) действует как G(n-1) (G(n-2)) c точностью до умножения на скаляр.
Отсюда ясно, что каноническое отображение Подъем инвариантов классических групп(Подъем инвариантов классических групп), даст
эпиморфизм Подъем инвариантов классических групп(Подъем инвариантов классических групп). Пусть Rn,m
- Q-алгебра, порожденная следами от всевозможных произведений общих матриц, или
транспонированных к ним (в случае C - симплектически транспонированных).


Лемма
2. Суперпозиция описанных выше отображений - это просто Подъем инвариантов классических группи затем -
каноническое на остальных матрицах.


Доказательство.
К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам
привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что In,m
порождается элементами из Подъем инвариантов классических группПосле этого
утверждение леммы очевидно, ведь произведение матрицы A на матрицы Xi(n), у
которых приравнены нулю коэффициенты левого верхнего "угла" (или
"окаймления" в случае C), дает тот же результат, что и произведение
единичной матрицы.


В
силу сделанного выше замечания о порождающих In,m специализация Подъем инвариантов классических группотображает
In,m+1 в In,m. Отсюда уже легко получается основная теорема.


Теорема.
Каноническое отображение алгебры K[M(n)m] в K[M(n-1)m] (Подъем инвариантов классических групп в случае C)
индуцирует эпиморфизм колец инвариантов.


Список литературы


Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J.
Shur functors and Shur complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207-278 (1982).


Борель
А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972.


De Concini C., Procesi C. A
characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21.
P. 330-354.


Donkin S. The normality of conjugacy
classes of matrices// Inv. Math., Vol.101. P.717-736 (1990).


Donkin S. Invariants of several
matrices// Invent. Math. Vol.110. P.389-401 (1993).


Grotendick A., Dieudonne J. Elements
de geometrie algebriques// Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960-1967.


Grosshans F. Observable subgroups
and Hilbert's fourteenth problem// Am.J. Math. 95. P.229-253 (1973).


Humphreys J.E. Linear algebraic
groups/ Springer Verlag. 1975.


Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor
products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra.
22(15). 6385-6399 (1994).


Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/



Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат