Остроградский

Школьная математика должна учитывать особенности детского восприятия,
но следует избегать общепринятой недооценки возможностей детей уже с
семилетнего возраста. В брошюре разобран вопрос об обучении ребят до 1

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Жизнь М. В. Остроградского.

Математическая жизнь в академии наук в середине десятых годов почти
замерла и возродилась в конце двадцатых с приходом в Академию
Остроградского и Буняковского, особенно первого из них.

Михаил Васильевич Остроградский родился 26 сентября 1801г. на
Украине, в деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии в семье
помещика. В 1816 г. он поступил в Харьковский университет. Остроградский
успешно сдал кандидатские экзамены, и перед ним, казалось, открывалась
прямая дорога к университетской профессуре. Однако острая идейная борьба,
которая в те годы велась в Харьковском университете, помешала спокойному
течению научной карьеры Остроградского.

Осиповский подверг критике идеалистическую немецкую философию,
сторонники которой имелись и среди работавших в Харьковском университете
иностранцев. В устных выступлениях Осиповский разоблачал и высмеивал
мистиков, стоявших во главе министерства просвещения и учебных округов.
Свое враждебное отношение к Осиповскому реакционная часть харьковской
профессуры перенесла и на его лучшего ученика, также не любившего ни
метафизики, ни мистики и бывшего, надо полагать, уже тогда “полным
материалистом и атеистом”.

Когда ректор университета Осиповский предложил присвоить
Остроградскому заслуженную им степень кандидата, в Совете университета
произошли резкие столкновения. Один из реакционных профессоров, А. И.
Дудрович, письменно донес попечителю округа З. Я. Корнееву, что по вине
Осиповского студенты-математики не занимаются богословием, а
Остроградского обвинил в том, что он, несмотря на предписание начальства,
не слушал богопознания и христианского учения. Дело дошло до министра
“духовных дел и народного просвещения” А. Н. Голицына, по указанию которого
Осиповский был уволен из университета, Остроградскаму отказали в
присуждении степени кандидата, издевательски предложив заново сдать
экзамены, якобы сданные им раньше в неправильном порядке.

Остроградский мужественно перенес эти испытания и решил, несмотря ни
на что, посвятить свою жизнь науке. Еще в Харьковском университете его
особенно увлекали вопросы прикладной математики и в 1922 г. он отправился в
Париж, где работали Лаплас и Фурье, Лежандр и Пуассон, Бине и Коши и другие
первоклассные ученые, пролагавшие новые пути в математике, математической
физике и механике. Курсы, читавшиеся в Политехнической школе, Сорбонне,
Коллеж де Франс были образцовыми и привлекали молодежь из многих стран.

Быстрые успехи Остроградского завоевали ему дружбу и уважение многих
французских математиков, как старших поколений, так и сверстников. Время
парижской жизни явилось для Остроградского не только “годами странствий и
учения”, но и интенсивного творчества. В 1824-1827 гг. он представил
Академии наук в Париже несколько замечательных мемуаров на французском
языке. В “Замечаниях об определенных интегралах” (1824) он дал вывод
незадолго перед тем опубликованной Коши формулы для вычета функции
относительно полюса п-го порядка, вывод, по сути дела совпадающий с
принятым ныне. В “Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”
(1826) он разработал весьма важную составную часть общего метода разделения
переменных для интегрирования уравнений математической физики. В том же
году Остроградский подготовил “Мемуар о распространении волн в
цилиндрическом бассейне”, где развил исследования Коши и Пуассона,
изучивших движение малых волн в бассейне бесконечной глубины и не
ограниченном стенками, а год спустя “Мемуар о распространении тепла внутри
твердых тел”, содержавший новое сжатое изложение метода разделения и
решения новой задачи о распространении тепла в некоторой треугольной
призме. Из них только работа по гидродинамике увидела свет в издании
Парижской Академии, другие же остались в ее архиве. Но и не опубликованные
тогда его открытия по математической физике оказали существенное влияние на
развитие математики. Основные результаты вошли в последующие печатные труды
самого Остроградского; кроме того, в рукописи или в устном изложении самого
Остроградского с ними ознакомились тогда же или вскоре Коши, Пуассон и
другие.

Перечисленные работы показывают, что Остроградский в первые же годы
парижской жизни не только полностью овладел новейшим аппаратом анализа и
механики, но существенно развил его и мастерски применил к решению как
весьма общих актуальных проблем, так и частных трудных задач. Коши с
высокой похвалой отзывался о работах своего молодого ученика и сотрудника.
Например, в основоположном мемуаре по теории интегралов в комплексной
области 1825 г., Коши, рассказывая о своих предыдущих результатах
писал:”Наконец, один молодой русский, одаренный большой проницательностью и
весьма искусный в анализе бесконечно малых, г. Остроградский, также
прибегнув к употреблению этих интегралов и их преобразованию в
обыкновенные, дал новое доказательство формул, мною выше упомянутых, и
обобщил другие формулы, которые я представил в 19-й тетради “Журнала
Политехнической школы”. Г. Остроградский любезно сообщил нам главные
результаты своей работы”. Столь же уважительны отзывы Коши об Остроградском
в статьях по теории вычетов. Много позднее, в работе, в которой установлен
ряд общих свойств интегралов линейных уравнений с частными производными,
Коши вспоминал о парижских открытиях Остроградского:”Я хотел бы иметь
возможность сравнить полученные мною здесь результаты с результатами,
полученными г. Остроградским в мемуаре, в котором он установил несколько
общих предложений относительно интегрирования линейных уравнений в частных
производных. Но я только смутно помню этот мемуар и, так как не знаю, был
ли он где-либо опубликован, я лишен возможности произвести это сравнение”.

Весной 1828 г. Остроградский приехал в Петербург и здесь на
протяжении нескольких месяцев представил Академии наук три работы. Первая
содержала оригинальный, основанный на новой концепции интеграла (Коши),
вывод уравнения Пуассона, которому удовлетворяет объемный потенциал поля
тяготения в точке, лежащей внутри притягиваемой массы или на ее границе.
Следующая посвящена вопросу о перестановке порядка интегрирования в
двойном интеграле в случае бесконечного разрыва подынтегральной функции и
примыкает к аналогичным исследованиям Коши. Третьей был уже упомянутый
мемуар “Доказательство одной теоремы интегрального исчисления”, который
автор вскоре взял обратно для переработки и затем опубликовал для
переработки и затем опубликовал под названием “Заметки по теории теплоты”.
Коллинс представил о трудах Остроградского блестящий отзыв и 29 декабря
1828 г. молодой ученый был избран адъюнктом по прикладной математике. Два
года спустя он был выбран экстраординарным академиком и в 1831 г. –
ординарным.

Деятельность Остроградского в Академии была весьма разносторонней. Он
сделал более 85 научных сообщений, частью неопубликованных; читал публичные
лекции; писал подробные отзывы на поступавшие в Академию работы, участвовал в комиссиях по введению григорианского календаря и десятичных мер (что
было сделано лишь после великой Октябрьской социалистической революции), по
водоснабжению Петербурга и т. д., занимался по поручению правительства
изысканиями по внешней баллистике, и т. д. Вместе с тем Остроградский много
времени уделял преподаванию. С 1828 г. он начал читать лекции в Морском
корпусе (впоследствии Морской академии), где преемниками его
последовательно были В.Я. Буняковский, А.Н. Коркин, А.Н. Крылов. С годами
педагогическая деятельность Остроградского становилась все более
интенсивной. Он вел занятия по математике и механике в Институте инженеров
путей сообщения, Главном инженерном и Главном артиллерийском училищах,
Главном педагогическом институте. С 1847 г. и до своей смерти он работал на
посту главного наблюдателя по преподаванию математических наук во всех
военных заведениях страны. Ему принадлежат несколько руководств по
элементарной и высшей математике.

Педагогические взгляды Остроградского были весьма прогрессивными. Он
считал, что в гимназиях и кадетских корпусах нужны лаборатории и
мастерские, где учащиеся приобретали бы трудовые навыки, производили опыты
и наблюдения. Он выступал за наглядность обучения математике, особенно в
раннем возрасте, и критиковал сухое и формальное изложение этого предмета в
современной ему школе. Он был сторонником введения в специальных старших
классах средних военных учебных заведений идеи функции и начал анализа;
курс математики, с его точки зрения, должен быть связан с другими
предметами, как физика, в которых применяются математические методы. Как
видно, в ряде пунктов Остроградский предвосхитил идеи так называемого
движения за реформу преподавания, возникшего в начале XX века. Кое-чего
Остроградский достиг в этом направлении в кадетских корпусах. Однако более
широкая реализация педагогических установок Остроградского стала возможной
лишь много позднее. Свое общее педагогическое credo Остроградский изложил
в написанной совместно с парижским математиком и инженером И.-О. Блюмом
(1812-1877) брошюре “Размышления о преподавании”, вышедшей на французском
языке. Чтение этого блестящего по изложению и глубокого по содержанию
сочинения интересно и в наши дни. Школьное преподавание арифметики, алгебры
и геометрии, - писали авторы, - ничем “не напоминает о насущной
необходимости изучения этих предметов для насущной жизни” и на деле дает
“только тот результат, что их усваивает очень небольшое число учеников”.
Этому в брошюре ярко противопоставлены принципы обучения, воспитывающего
наблюдательность и любознательность, техническую сноровку и научное
мышление. Для повышения интереса и привлечения внимания учеников Блюм и
Остроградский рекомендовали использовать историю наук и биографии
выдающихся людей, “принесших пользу наукам и искусству”:”Это в одно и то же
время отличная разрядка и средство с помощью живого рассказа запечатлеть то
или иное основное положение, либо удачное приложение теоретических
принципов”.

Школьная математика должна учитывать особенности детского восприятия,
но следует избегать общепринятой недооценки возможностей детей уже с
семилетнего возраста. В брошюре разобран вопрос об обучении ребят до 12
лет, причем только в гимназиях или специальных учебных заведениях; более
массовые школы, где учат началам чтения, письма и счета оставлены были в
стороне.

Остроградский оказал значительное влияние на развитие математики и
механики. Он, в частности, подготовлял условия для создания математической
школы, организованной Чебышевым, и сам основал русскую школу механики. К
его исследованиям примыкают многие последующие работы по математической
физике, по теории интегрирования иррациональных функций, по теории кратных
интегралов и даже по теории вероятностей, которыми он сам занимался
немного. Прямыми учениками Остроградского были создатель теории
автоматического регулирования И. А. Вышнеградский (1831-1895), автор
классических исследований по теории трения и влияния на него смазки и по
теории механизмов Н. П. Петров (1822-1889) и другие. Все перечисленные
математики вышли из Главного педагогического института, где Остроградский
преподавал с 1832 по 1859 г..

Научные заслуги Остроградского были высоко оценены и за рубежом. Он
был избран членом-корреспондентом французской Академии наук в 1856 г., а
еще ранее членом Американской академии наук и академий в Турине и в Риме.
Скончался он 1 января 1862 г.

Кратные интегралы.

Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по кратным
интегралам.

Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла в
двойной, которую мы пишем обычно в виде

[pic] (1) или

[pic], где div A – дивергенция поля вектора А, Аn – скалярное произведение
вектора А на единичный вектор внешней нормали n граничной поверхности, в
математической литературе нередко связывалась ранее с именами Гаусса и
Грина. На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно усмотреть
только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0 и т. п.
Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и магнетизма
формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое соотношение между тройным и
двойным интегралами, именно, формула Грина для оператора Лапласа, которую
можно записать в виде

[pic] (2)

Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая

[pic] [pic] [pic] и точно так же можно получить формулу (2) из формулы (1), но
Грин этого и не думал делать.

Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1) оставался не вполне
ясным. Дело в том, что, как было недавно замечено, в мемуаре Пуассона по
теории упругости, выводится формула

[pic] где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл по граничной
поверхности, причем [pic] суть направляющие косинусы внешней нормали.

Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с полной
несомненностью, что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение
интегральной теоремы (1). Впервые она была высказана и доказана, точно так,
как это делают теперь в “Доказательстве одной теоремы интегрального
исчисления”, представленном Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г.,
после чего еще раз была сформулирована в той части “Мемуара о
распространении тепла внутри твердых тел ”, которую Остроградский
представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на отзыв Фурье и Пуассону,
причем последний его, безусловно читал, как свидетельствует запись на
первых страницах обеих частей рукописи. Разумеется, Пуассону и не
приходила мысль приписывать себе теорему, с которой он познакомился в
сочинении Остроградского за два года до представления своей работы на
теории упругости.

Что касается взаимоотношения работ по кратным интегралам
Остроградского и Грина, напомним, что в “Заметке по теории теплоты”
выведена формула, обнимающая собственную формулу Грина, как весьма частный
случай. Непривычная теперь символика Коши, употребленная Остроградским в
“Заметке”, до недавнего времени скрывала от исследователей это важное
открытие. Разумеется, за Грином остается честь открытия и первой
публикации в 1828 г. носящей его имя формулы для операторов Лапласа.

Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной помогло
Остроградскому решить проблему варьирования п-кратного интеграла, именно,
вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования интеграла от
выражения типа дивергенции по п- мерной области и интеграл по
ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,…)=0. Если
придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид

[pic]

[pic] (3)

Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов,
которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не
существовала.

В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов” рассмотрены
еще два важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский
выводит формулу замены переменных в многомерном интеграле; во-вторых,
впервые дает полное и точное описание приема вычисления п- кратного
интеграла с помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных в
соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом мемуаре,
легко выводится общее правило дифференцирования по параметру многомерного
интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная
функция, но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из
наличных в мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие
математики даже отождествляли его с одною из формул этого мемуара.

Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил
специальную работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с
помощью формальных преобразований Эйлер, для тройного – Лагранж. Однако,
хотя результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он как бы
исходил из того, что элементы объемов в старых и новых переменных –
координатах – между собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в
только что упомянутом выводе правила замены переменных Остроградский. В
статье “О преобразовании переменных в кратных интегралах” Остроградский
раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые изложил тот наглядный
геометрический метод преобразования переменных в двойном интеграле,
который, в несколько более строгом оформлении, излагается и в наших
руководствах. Именно, при замене переменных в интеграле [pic] по формулам
[pic], [pic], область интегрирования разбивается координатными линиями двух
систем u=const, v=const на бесконечно малые криволинейные
четырехугольники. Тогда интеграл можно получить, складывая сначала те его
элементы, которые отвечают бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем,
продолжая суммировать элементы полосами, пока они все не будут исчерпаны.
Несложный подсчет дает для площади, которая с точностью до малых высшего
порядка может рассматриваться как параллелограмм, выражение [pic] , где
[pic], выбирается так, чтобы площадь была положительной. В итоге получается
известная формула

[pic].

Так дифференциальное выражение [pic], которое Эйлер формально
подставлял вместо dydx, а следуя рассуждениям Лагранжа для трехмерного
случая, нужно было бы считать равным dydx, приобрело у Остроградского
простой и ясный геометрический смысл.

Дифференциальные уравнения.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания
два результата Остроградского. В «Заметке о методе последовательных
приближений», предложен метод решения нелинейных уравнений с помощью
разложения в ряд по малому параметру, позволяющей избегать так называемых
вековых членов, содержащих аргумент вне тригонометрических функций. Такие
члены нередко появляются при употреблении обыкновенных приемов
интегрирования с помощью степенных рядов; неограниченно возрастая вместе с
аргументом, они порождают ошибочные приближения, а содержащее их решение
оказывается неподходящим. С этим явлением встречались еще астрономы XVIII
в. и задачей уничтожения вековых членов занимались Лаплас, Лагранж и
другие. Свой метод, основанный на одновременном разложении по параметру как
самого решения, так и периода входящих в него периодических функций,
Остроградский кратко пояснил на примере:

[pic], [pic] [pic], который записал в несколько иной форме:

[pic], совпадающей с данным уравнением при [pic]. Решение с точностью до
величин первого порядка относительно [pic], найденное обычным способом,
содержит вековой член:

[pic]; решение по способу Остроградского от него свободно:

[pic], [pic].

Найденное приближение Остроградский сопоставил с точным решением
уравнения в эллиптических функциях Якоби. Остроградский ограничился
получением первого приближения; в конце статьи он высказал намерение
приложить этот метод к движению планет вокруг Солнца. Намерение это,
видимо, не осуществилось, но как раз в работах по определению орбит
небесных тел идея Остроградского получила дальнейшее развитие. Одним из
первых таких трудов явилось исследование по теории возмущений шведского
ученого А. Линдстедта, работавшего в 1879 – 1886 гг. в Дерптском
университете. За этим последовали глубокие исследования А. Пуанкаре и А.
М. Ляпунова и, уже в советский период, Н. М. Крылова, который применил к
нему и другим, более общим классам линейных неоднородных уравнений второго
порядка, содержащих малый параметр, несколько модифицированный им метод
Ляпунова. В настоящее время метод малого параметра широко применяется к
исследованию нелинейных задач механики, физики и техники.

Небольшая “Заметка о линейных дифференциальных уравнениях”
Остроградского (1839) содержит классическую теорему, которая излагается
теперь в любом курсе дифференциальных уравнений. Дано уравнение

[pic]. и п его решений [pic], которые предполагаются линейно независимыми.
Согласно теореме Остроградского определитель

[pic] выражается через коэффициент при (п-1)-й производной:

[pic], где а – постоянная. Мы называем определитель [pic] по имени впервые
рассмотревшего его (в другой связи и более общей форме) польского
математика Г. Вронского (1812). Та же теорема была одновременно получена из
несколько иных соображений Ж. Лиувиллем (1838).

Некоторые работы Остроградского были связаны с конкретными задачами
современной ему военной техники. Так, например, в 1839-1842 гг. он по
поручению артиллерийского ведомства занимался изучением стрельбы
эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры отличен от
центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три небольшие статьи,
из которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для решения задачи о
движении снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К работам
по баллистике в свою очередь примыкали исследования Остроградского по
приближенным вычислениям, в том числе и упоминавшаяся работа 1839 г.,
содержащая вывод остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.

План:

1. Жизненный путь М. В. Остроградского.

2. Кратные интегралы.

3. Дифференциальные уравнения.

4. Заключение.

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

на тему:

М. В. Остроградский

Выполнила

студентка физико-математического факультета

V курса, группы “B”

Семерикова Юлия

МОГИЛЕВ

2002.


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат