Операторные уравнения

Определение линейного оператора. Норма линейного оператора. Обратные операторы. Абстрактные функции. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора. Метод малого параметра в простейшем случае. Метод малого параметра в общем случае.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Операторные уравнения


Выпускная квалификационная работа


Выполнила студентка V курса  математического факультета Кощеева Анна
Сергеевна


Вятский Государственный Гуманитарный
университет (ВятГГУ)


Киров 2005


Введение


Функциональный анализ – мощное
средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он
имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают
в смежные технические дисциплины.


Многие задачи математической физики,
теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального
линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения
уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два
метода решения операторных уравнений.


Цель данной работы: рассмотреть
основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений –
метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение
этих методов к решению задач.


Изучив имеющийся материал по данной
теме, я поставила перед собой следующие задачи:


раскрыть некоторые основы теории
линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных
уравнений;


проиллюстрировать на конкретных
примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения
конкретных задач.


Так как выделение из функционального
анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения
решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем,
кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две
главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов
решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения
конкретных задач.


Глава 1.
Операторные уравнения


§1.Определение
линейного оператора


Пусть X и Y – линейные пространства,
оба вещественные или оба комплексные.


Оператор А: X → Y с областью
определения D(А) называется линейным, если


А(λ1x1 + λ2x2) =
λ1А(x1) + λ2А(x2)


для любых x1,x2 Î D
и любых скаляров λ1 и λ2.


Пусть X и Y – нормированные
пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X
(т.е. D(А) = X).


Оператор А называется непрерывным в
точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при x →
x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 Î X
можно по непрерывности его в нуле пространства X.


Теорема 1. Пусть линейный оператор А
всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве
Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке
x0 Î X.


Доказательство. Рассмотрим равенство
Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По
непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и
требовалось доказать.


Линейный оператор А называется
непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.


Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤
1 в банаховом пространстве X.


Будем называть линейный оператор А: X
→ Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если
ограничено множество


{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.


Согласно определению, если А
ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤
1 справедливо неравенство


||Аx|| ≤ с (1)


Теорема 2. А ограничен тогда и только
тогда, когда справедлива оценка


||Аx|| ≤ с ||x|| (2)


для любых x Î
X, где с – постоянная.


Теорема 3. Пусть А: X → Y, А –
линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.


§2. Норма линейного оператора


В линейном пространстве непрерывных
линейных операторов зададим норму следующим образом:


Операторные уравнения . (1)


Поясним, почему существует конечное
число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1).
Так как А – ограничен, то множество


Операторные уравнения


ограничено сверху. По теореме о
верхней грани существует Операторные уравнения.


Из свойства sup M следует, что ||Аx||
≤ ||А|| для всех x Î S1(0). Отсюда


||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)


справедливое для всех x Î
X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в
неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.


Пространство нормированных
непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X,
Y).


§3.Обратные операторы


Системы линейных алгебраических
уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны
в виде линейного уравнения


Операторные уравнения


Если существует обратный оператор Операторные уравнения, то решение
задачи записывается в явном виде:


Операторные уравнения


Важное значение приобретает теперь
выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и
обладает теми или иными свойствами.


Пусть задан линейный оператор: А: X →
Y, где X,Y – линейные пространства, причем его область определения D(A)Операторные уравненияX, а область
значений R(A)Операторные уравненияY.


Введем множество Операторные уравнения - множество нулей оператора А. заметим, что
N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)


Теорема 4. Оператор А переводит D (А)
в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=Операторные уравнения, (т.е.
множество А нулей состоит только из элемента 0)


Теорема 5. Оператор А-1 существует и
ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и
любого x Î D(A) выполняется неравенство


Операторные уравнения. (1)


Введем теперь следующее важное
понятие.


Будем говорить, что линейный оператор
А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 Î
L(Y, X), (т.е. ограничен).


Обращаясь к теореме 5, мы сможем
сформулировать следующее утверждение.


Теорема 6. Оператор А непрерывно
обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и
для всех Операторные уравнения выполняется неравенство (1).


В случае определенного и
ограниченного на всем множестве оператора A Î L(X,Y) имеется теорема Банаха об
обратном операторе.


Теорема 7. Если А – ограниченный
линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на
банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.


Иными словами, если А Î
L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.


Взглянем на понятие непрерывно
обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения


Ax = y (2)


Если А непрерывно обратим, то
уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у.
Если при этом Операторные уравнения(решение того
же уравнения с правой частью Операторные уравнения), то Операторные уравнения. Это
означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения,
или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.


Пусть А Î
L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правым
обратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым обратным
к А, если VA = Ix.


Здесь через Iy (Ix) обозначен
тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А
используем обозначение Аr–1, а для левого – АL–1.


Лемма 1. Если существует правый
обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет решение


x = Аr–1 y


Если существует левый обратный
оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.


Доказательство.


А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,


т.е. x = Аr–1 y обращает (2) в
тождество и, значит, является решением.


Далее, пусть существует АL–1.
рассмотрим N(A). Пусть x Î N(A), тогда Аx = 0. применим к этому
равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x Î
N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно
однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и
требовалось доказать.


Пусть X – банахово пространство.
Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных
на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X).
Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I
непрерывно обратимы все операторы Операторные уравнения - единичного шара в L(X), т.е. все такие А,
для которых справедливо неравенство Операторные уравнения.


Для краткости положим C = I – A. Ниже
мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство,
тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.


Теорема 8. Пусть Операторные уравнения и Операторные уравнения; тогда
оператор I – C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки


Операторные уравнения (1)


Операторные уравнения (2)


Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд


I+C+C2+C3+… (3)


Так как Операторные уравнения, то ряд (3)
оценивается сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией


Операторные уравнения


По признаку Вейерштрасса ряд (3)
сходится равномерно, т.е.


Операторные уравнения.


Где S – сумма ряда (3). Далее простой
проверкой убеждаемся, что


Операторные уравнения,


Операторные уравнения.


Но при этом Операторные уравнения (ибо Операторные уравнения и Операторные уравнения), а Операторные уравнения. Поэтому, в
пределе имеем равенства (I – C)S = I и S(I – C) = I. По лемме 1 отсюда
заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I – C)-1. Далее,


Операторные уравнения,


Операторные уравнения.


Переходя в этих неравенствах к
пределу при Операторные уравнения, получаем
оценки (1) и (2). Теорема доказана.


Теперь рассмотрим более общий случай
пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.


Теорема 9. Пусть A, B Î
L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство Операторные уравнения. Тогда B
непрерывно обратим и справедливы оценки


Операторные уравнения, Операторные уравнения.


§4. Абстрактные функции


Пусть S – некоторое множество на
числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.


Рассмотрим функцию x(Операторные уравнения) с областью
определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть
абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой
переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы
называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной
переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим
сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные
ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.


Пусть x(Операторные уравнения) определена в
окрестности точки Операторные уравнения0, за
исключением, быть может, самой точки Операторные уравнения0. Элемент а Î X
будем называть пределом функции x(Операторные уравнения) при Операторные уравненияОператорные уравнения0 и записывать


Операторные уравнения при Операторные уравненияОператорные уравнения0,


если Операторные уравнения при Операторные уравненияОператорные уравнения0.


Степенные ряды – это специальный
случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от
параметраОператорные уравнения.


Рассмотрим в нормированном
пространстве X ряд вида Операторные уравнения, где xк Î
X, а Операторные уравнения – вещественное или комплексное переменное.
Поскольку можно ввести новую переменную Операторные уравненияОператорные уравнения0 = Операторные уравнения, то в
дальнейшем мы полагаем Операторные уравнения0 = 0 и
рассматриваем степенные ряды вида


Операторные уравнения (1)


Конечная сумма Операторные уравнения называется частичной суммой степенного ряда
(1).


Пусть Операторные уравнения – множество всех точек Операторные уравнения, для которых
ряд (1) сходится. Операторные уравнения называется областью сходимости ряда (1).


Сумму ряда (1) при Операторные уравненияÎ Операторные уравнения обозначим через S(Операторные уравнения) (это
абстрактная функция, определенная на Операторные уравнения со значениями в X), при этом будем писать


Операторные уравненияОператорные уравнения, при Операторные уравненияÎ Операторные уравнения.


Последнее равенство означает, что Sn(Операторные уравнения) → S(Операторные уравнения) при n→∞
для всех Операторные уравненияÎ Операторные уравнения.


Очевидно, область сходимости любого
степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î Операторные уравнения. Как и в
случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.


Теорема 10 (Абель). ПустьОператорные уравнения0 ≠ 0 и Операторные уравнения0 Î Операторные уравнения, тогда круг Операторные уравнения содержится в Операторные уравнения. Во всяком
круге Sr(0), где r < Операторные уравнения, ряд (1)
сходиться абсолютно и равномерно относительно Операторные уравнения.


Теорема 11. Пусть два степенных ряда
равны в круге SR(0), R>0:


Операторные уравненияОператорные уравнения;


тогда равны все их коэффициенты: Операторные уравнения (k=0, 1, 2, …)


Дифференцирование абстрактных функций


Пусть функция Операторные уравнения числового переменного λ со значениями в
банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.


По определению производной
x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел


Операторные уравнения,


если этот предел существует (и
конечен). Если Операторные уравнения имеет производную в точке λ0, то она
называется дифференцируемой в этой точке.


§5. Аналитические абстрактные функции
и ряды Тейлора


Абстрактную функцию x(Операторные уравнения) будем
называть аналитической при Операторные уравнения=0, если она
представима в некоторой окрестности точки Операторные уравнения=0 сходящимся
степенным рядом:


Операторные уравнения (1)


с ненулевым радиусом сходимости.


Теорема 12. Если x(Операторные уравнения) –
аналитическая абстрактная функция при Операторные уравнения=0, то x(Операторные уравнения) непрерывна в
круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).


Теорема 13. Если x(Операторные уравнения) –
аналитическая абстрактная функция при Операторные уравнения=0, то x(Операторные уравнения) дифференцируема
в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.


Пусть x(Операторные уравнения) бесконечно
дифференцируема в точке 0. Ряд вида


Операторные уравнения


называется рядом Тейлора функции x(Операторные уравнения).


Если x(Операторные уравнения) аналитична
при Операторные уравнения=0, то ее ряд
Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит,
сходится к ней в SR(0).


Понятие абстрактной аналитической
функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.


§6. Метод малого параметра в
простейшем случае


Рассмотрим следующее уравнение:


Аx –Операторные уравненияСx=y. (1)


Здесь А, С Î
L(X,Y) и y Î Y заданы, Операторные уравнения - скалярный параметр, Операторные уравнения, а
неизвестное x разыскивается в X. Если Операторные уравнения, т.е.


Операторные уравнения, (2)


то, согласно теореме 9, оператор А–Операторные уравненияС непрерывно
обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной
формулой


Операторные уравнения. (3)


Отсюда видно, что в круге (2) решение
является аналитической функцией параметра Операторные уравнения и, следовательно, может быть найдено в виде


Операторные уравнения (4)


На этой идее основывается метод
малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и,
согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях Операторные уравнения в правой и левой частях получившегося
тождества:


Операторные уравнения.


Таким образом, мы приходим к
следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:


Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …


Так как А непрерывно обратим, то
отсюда последовательно находим


x0=А–1y, x1= А–1(СА–1)y, …, xк=
А–1(СА–1)кy, …


Следовательно,


Операторные уравнения. (5)


Мы получили решение (3), разложенное
в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться
приближенным решением


Операторные уравнения


то можно оценить ошибку. Вычитая из
ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим


Операторные уравнения.


§7. Метод малого параметра в общем
случае


Пусть дано уравнение


А(Операторные уравнения)х = у(Операторные уравнения). (1)


Здесь А(Операторные уравнения
L(X,Y) задана при каждом Операторные уравнения, Операторные уравнения, или, как
говорят, А(Операторные уравнения) –
оператор-функция. Пусть А(Операторные уравнения) аналитична
при Операторные уравнения=0, а оператор
А(0) непрерывно обратим, у(Операторные уравнения) – заданная
аналитическая функция Операторные уравнения при Операторные уравнения=0 со
значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.


Аналитичность А(Операторные уравнения) и у(Операторные уравнения) в точке 0
означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами
сходимости, которые равны Операторные уравнения и Операторные уравнениясоответственно:


Операторные уравнения, Операторные уравнения. (2)


Из аналитичности А(Операторные уравнения) следует
непрерывность А(Операторные уравнения) при Операторные уравнения=0.
следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге Операторные уравнения


Операторные уравнения.


Отсюда вытекает, что в круге Операторные уравненияоператор-функция
А(Операторные уравнения) непрерывно
обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение


Операторные уравнения,


при этом x(Операторные уравнения) аналитична в
точке Операторные уравнения=0 и радиус
сходимости соответствующего степенного ряда равен min(Операторные уравнения, r). Для
фактического построения x(Операторные уравнения) удобно
воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x(Операторные уравнения) в виде


Операторные уравнения. (3)


Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и
учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных
коэффициентов x0, x1, x2, …:


А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,


А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4)


. . . . . . . . . . .


Операторные уравнения, …


Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим.
Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим


Операторные уравнения, Операторные уравнения, … (5)


Возникающие здесь формулы довольно
громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью
точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение
оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А(Операторные уравнения).


§8. Метод продолжения по параметру


8.1. Формулировка основной теоремы


В качестве еще одного приложения
теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения
по параметру. Пусть Операторные уравнения и А непрерывно обратим. Если Операторные уравнения, то, согласно
теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных
условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда
он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на
отрезке [0, 1] оператор - функцию Операторные уравнения такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в
L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем
предполагать, что для оператор – функции Операторные уравнения выполняется следующее условие:


Существует постоянная Операторные уравнения такая, что при всех Операторные уравнения и при любых Операторные уравнения справедливо неравенство


Операторные уравнения. (1)


Ниже будет доказана следующая
теорема.


Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная
на [0, 1] оператор-функция (при каждом Операторные уравнения), причем
оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то
А(I)непрерывно обратим, причем Операторные уравнения.


Замечание к теореме 14. Если
выполнено условие I при Операторные уравнения и оператор Операторные уравнения непрерывно обратим, то


Операторные уравнения. (2)


Действительно, пусть Операторные уравнения, а Операторные уравнения, т.е.Операторные уравнения. тогда
условие I дает Операторные уравнения или Операторные уравнения, что означает
справедливость неравенства (2).


8.2. Простейший случай продолжения по
параметру


Приведем здесь доказательство теоремы
14 для случая, когда Операторные уравнения. Согласно
условию этой теоремы Операторные уравнения. По замечанию
14 Операторные уравнения. Имеем
следующую оценку:


Операторные уравнения.


Пусть Операторные уравнения, где Операторные уравнения. На [0,
δ] имеем Операторные уравнения, и,
следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком Операторные уравнения непрерывно обратим. Если окажется, то Операторные уравнения, то теорема
доказана.


Пусть δ < 1. Возьмем
А(δ). Согласно замечанию п.14.1 Операторные уравнения. Повторяем
наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку


Операторные уравнения,


если Операторные уравнения, откуда
А(λ) непрерывно обратим при каждом Операторные уравнения. Если Операторные уравненияОператорные уравнения, то теорема
доказана. Если же 2δ < 1, то Операторные уравнения и рассуждение можно повторить. После конечного
числа шагов мы достигаем точки λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно
обратим.


Доказательство теоремы в общем случае


Рассмотренный выше частный случай
отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на
следующем элементарном предложении.


Лемма. Пусть М – некоторое непустое
множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].


Замечание 1. условие открытости М на
[0,1] понимается так: для любого Операторные уравнения существует δ > 0 такое, что Операторные уравнения.


Доказательство леммы. Пусть N = [0,
1] M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ –
пустое множество. Допустим противное, что N ¹ Æ. Поскольку М ¹ Æ и
ограничено сверху, то существует b = supM, причем b Î M
вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие
открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению
supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.


Теперь рассмотрим множество N. Как
дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему
применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 Î
N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает,
что допущение N ¹ Æ неверно. Итак, N= Æ,
т.е. М = [0, 1]. Лемма доказана.


Вернемся к доказательству теоремы.
Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор
А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 Операторные уравнения для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î
[0, 1].


Операторные уравнения


воспользуемся непрерывностью
оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0
найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î
[0, 1] таких, что Операторные уравнения < δ выполняется неравенство Операторные уравнения <e.


Возьмем e =
γ, тогда при Операторные уравнения < δ(γ), λ Î
[0, 1]


Операторные уравнения<1.


По теореме 9 §3 А(λ) непрерывно
обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ0 М содержит Операторные уравнения, т.е. М
открыто на [0, 1].


Докажем, что М замкнуто на [0, 1]. Пусть
Операторные уравнения и Операторные уравнения при Операторные уравнения. Надо
доказать, что λ0 М. воспользуемся неравенством Операторные уравнения и получим


Операторные уравнения.


Вследствие непрерывности А(λ) по
λ для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой,
что при n > N будет Операторные уравнения<e.
Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 Операторные уравнения<1.


По теореме 9 А(λ0) непрерывно
обратим, т.е. λ0 Î М, и, значит, М замкнуто на [0, 1].
По лемме М = [0, 1] . в частности, 1Î М и Операторные уравнения. Теорема
полностью доказана.


Замечание. Рассмотрим уравнение с
параметром:


А(λ)х = у, λÎ
[0, 1]. (1*)


Пусть для всех возможных решений
этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка


Операторные уравнения, (2*)


где с – некоторая постоянная, не
зависящая от х, у и λ. Оценка такого рода называется априорной оценкой для
решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь
иначе записанное условие (1): Операторные уравнения.


Доказанная выше теорема
свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем
существования и единственности решений.


Глава 2. Приложение


Пример 1. Рассмотрим интегральное
уравнение с малым вещественным параметром λ:


Операторные уравнения (1)


Это уравнение вида А(Операторные уравнения)х = у(Операторные уравнения) –
операторное уравнение в С[-π; π], где


Операторные уравнения


Покажем, что А(Операторные уравнения) аналитична в
т. 0, т.е. разлагается в ряд вида Операторные уравнения. Разложим
функцию А(Операторные уравнения) в ряд
Тейлора: Операторные уравнения.


Найдем к – ую производную:


Операторные уравнения


Разложим функцию в ряд Тейлора в т.
0:


Операторные уравнения


Таким образом, функция аналитична,
следовательно, непрерывна при Операторные уравнения = 0, а значит, уравнение имеет единственное
решение.


Операторные коэффициенты имеют вид:


Операторные уравнения; Операторные уравнения (2)


I. Начнем с уравнения А0x0 = y системы
(4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥ 1.


Операторные уравнения


Операторные уравнения


Заменим, Операторные уравнения, поэтому Операторные уравнения


Операторные уравнения, (4)


где


Операторные уравнения, Операторные уравнения 


Для того, чтобы найти коэффициент А в
уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:


Операторные уравнения,


подсчитаем интегралы:


Операторные уравнения, Операторные уравнения, Операторные уравнения


Тогда, подставив в уравнение,
получаем: Операторные уравнения. Отсюда:


Операторные уравнения. (5)


Найдем коэффициент В уравнения (4),
умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:


Операторные уравнения.


Подсчитав соответствующие интегралы:


Операторные уравненияОператорные уравненияОператорные уравнения, Операторные уравнения, Операторные уравнения, подставив и
выразив В, получаем:


Операторные уравнения. (6)


Подставим найденные коэффициенты (5)
и (6) в уравнение (4):


Операторные уравнения


и свернем по формуле:


Операторные уравнения


II. Найдем теперь x1(t), для этого
необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0 = y1. Так как
y1=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А0x1= – А1x0.


Операторные уравнения


Операторные уравнения


Обозначим Операторные уравнения, т.к. мы
знаем теперь x0(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:


Операторные уравнения


Как в предыдущем случае заменим, Операторные уравнения, поэтому Операторные уравнения


Операторные уравнения . (7)


где Операторные уравнения, Операторные уравнения.


Умножим уравнение (7) на cos t и
проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент А:


Операторные уравнения


Подсчитав: Операторные уравнения, Операторные уравнения, Операторные уравнения,


имеем Операторные уравнения.


Аналогично умножив уравнение (7) на
sin t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент В: Операторные уравнения.


Составляем функцию x1(t), подставив
коэффициенты А и В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса
разности:


Операторные уравнения.


Таким способом мы можем найти все
остальные решения уравнения с любой степенью точности.


Пример 2. Применим метод продолжения
по параметру для оценки разрешимости краевой задачи для дифференциального
уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.


–x'' + b(t)x'
+c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)


x(0) = x(1) = 0 (2)


Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t)
непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) –
b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).


Покажем методом продолжения по
параметру, что в этих условиях при всякой правой части y ÎY
= С [0, 1] существует единственное решение задачи x Î X
= С2 [0, 1] – пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на
[0, 1] функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой Операторные уравнения, где Операторные уравнения.


Запишем задачу (1) – (2) в
операторном виде: Вx = y


Здесь Операторные уравнения определен всюду на X со значениями в Y. В
качестве оператора А примем Операторные уравненияÎL(X,
Y).


Соединим операторы А и В отрезком


Операторные уравнения, λ Î
[0, 1].


Теперь необходимо установить
априорную оценку для решений краевой задачи


–x'' + λb(t)x' + λc(t)x =
y(t), 0< t <1, (3)


x(0) = x(1) = 0 (4)


Как только такая оценка будет получена,
из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) –
(4).


Умножим уравнение (3) на x(t) и
проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1:


Операторные уравнения.


Заметим, с учетом граничных условий:


Операторные уравнения


Операторные уравнения


Подставим полученные интегралы и
сгруппируем относительно λ:


Операторные уравнения (5)


Произведем оценку всех трех слагаемых
в этом равенстве.


Докажем, что Операторные уравнения. (6)


Заметим, что Операторные уравнения, и значит по
неравенству Коши – Буняковского:


Операторные уравнения.


Точно так же:


Операторные уравнения.


Перемножим эти неравенства:


Операторные уравнения. (6*)


Отсюда, замечая, что Операторные уравнения, получим


Операторные уравнения Операторные уравненияОператорные уравнения.


Далее Операторные уравнения (7)


– это следует из предположения (*).


Последний интеграл равенства (5)
можно оценить, используя скалярный квадрат:


Операторные уравнения, где Операторные уравнения.


Для любого ε > 0 Операторные уравнения Операторные уравнения 


Операторные уравнения. (8)


Используя полученные неравенства (6),
(7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:


Операторные уравнения,


считая ε > 0 достаточно
малым, имеем


Операторные уравнения.


Выберем Операторные уравнения и получим


Операторные уравнения, где Операторные уравнения.


Возвращаясь снова к равенству (5),
получим следующую оценку:


Операторные уравнения, где Операторные уравнения, а Операторные уравнения.


Теперь с помощью оценки (6*) имеем Операторные уравнения и, значит, учитывая, что Операторные уравнения, получим


Операторные уравнения (9)


Из уравнения (3) можем получить
оценки для Операторные уравнения и Операторные уравнения:


Операторные уравнения. (10)


Здесь Операторные уравнения оценивается через Операторные уравнения и Операторные уравнения.
Действительно, x(0) = x(1) = 0. по теореме Роля на (0, 1) найдется точка
ξ, в которой x'(ξ) = 0. Тогда, запишем уравнение (3) в виде


Операторные уравнения,


(в этом можно убедиться, взяв
производную:


Операторные уравнения 


и сокративОператорные уравнения)


интегрируем его от ξ до θ и
получим


Операторные уравнения.


Отсюда имеем оценку


Операторные уравнения, (11)


где Операторные уравнения.


Теперь подставим полученные
результаты в (10):


Операторные уравнения. (12)


Теперь (9), (11) и (12) дают искомую
априорную оценку:


Операторные уравнения


(постоянную с4 нетрудно подсчитать,
сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).


Таким образом, доказательство
разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению методом малого
параметра.


Итак, рассмотрим операторное
уравнение:


А(λ)x = y(λ),


где Операторные уравнения.


I. Начнем с уравнения А0x0 = y (где
А0 – коэффициент при нулевой степени λ) системы (4) §7, причем y0 = y, yк
= 0, к ≥ 1.


Операторные уравненияОператорные уравненияОператорные уравненияОператорные уравнения Операторные уравненияОператорные уравнения, причем с1
подбирается так, чтобы выполнялось краевое условие: x0(1) = 0.


II. Найдем x1(t), для этого
необходимо решить следующее уравнение: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0, то мы
будем решать уравнение А0x1= – А1x0.


Из того, что Операторные уравненияследует
следующее уравнение:


Операторные уравнения Операторные уравнения Операторные уравнения Операторные уравнения 


Операторные уравненияОператорные уравнения Операторные уравнения.


По аналогии c2 и c3 подбираем так,
чтобы выполнялось краевое условие: x0(1) = 0.


Таким образом, решения нашей краевой
задачи выглядит так:


Операторные уравнения,


подставляя найденные решения, имеем:


Операторные уравнения


или


Операторные уравнения


Список
литературы


Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы.
М., 1962


Талдыкин А.Т. Элементы прикладного
функционального анализа: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982.


Треногин В.А. Функциональный анализ.
М., 1993.


Функциональный анализ./Под. ред. С.
Г. Крейна. М., 1972


Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального
анализа и теория операторов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.


Для подготовки данной работы были
использованы материалы с сайта http://revolution.allbest.ru/



Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат