Конус, площадь его поверхности и объем

Систематизация и углубление знаний по теме “Конус”. Повысить интерес к геометрии, решая нестандартные задачи и отвечая на занимательные вопросы. Создание положительной внутренней мотивации обучения учащихся.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Конус,
площадь его поверхности и объем

Маслова В. А., г. Воронеж

 (Открытый урок по
геометрии в 11 классе)

“Проблемы нам создают не те вещи, которые мы не знаем, а те, о которых мы ошибочно полагаем, что знаем”


В. Роджерс


ЦЕЛЬ УРОКА: Систематизация и углубление знаний по теме
“Конус”. Повысить интерес к геометрии, решая нестандартные задачи и отвечая на занимательные
вопросы. Создание положительной внутренней мотивации обучения учащихся.


Ход урока.


I. Вопросы к классу с комментариями учителя:


Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем свои знания
по теме “Конус”, повторим основные формулы и применим их при решении практических
задач.


Вы должны были повторить основные понятия по теме и установить
связь между картиной Шишкина “Корабельная роща” и геометрическим телом, которое
называется “конус”. Кто из Вас нашел эту “связь”? (Учитель демонстрирует репродукцию
картины).


Ответ: Конус в переводе с греческого языка означает “сосновая
шишка”, а на картине изображен сосновый лес.


Фронтальная работа с классом по основным понятиям темы.
Два ученика решают задачи на доске по карточкам.


Вопросы к классу:


Дайте определение конуса;


Какая поверхность называется конической;


Назовите элементы конуса и покажите их на чертеже;


Какой конус называется прямым?


Запишите формулы объема конуса, площади боковой и полной
поверхности конуса.


Проверка задач, решенных учениками на доске:


Задача 1. Радиус основания конуса R. Осевым сечением является
прямоугольный треугольник. Найти его площадь.


Задача 2. Осевым сечением конуса является равнобедренный
прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найти объем конуса.


Самостоятельная работа на 2 варианта с последующей проверкой
(два ученика решают на закрытых досках).


Вариант I. Найдите высоту конуса, если его объем равен
48p см3, а радиус основания 4 см.


Вариант II. Найдите радиус основания конуса, если его объем
равен 2,25p см3, а высота 3 см.


Решить задачу: Образующая конуса равна 18 см и наклонена
к плоскости основания под углом 60° . Найдите площадь осевого сечения, площадь полной
поверхности конуса и его объем.


II. Примените полученные знания на практике.


Комментарии учителя: Итак, Вы уже знаете как найти элементы
конуса, его поверхность и объем, но сможете ли Вы применить их выходя на “вольный
воздух”. Ведь куча щебня по краям шоссейной дороги также представляет предмет заслуживающий
внимания. Посмотрев на рисунок 1, мы можем задать себе вопросы:


Какую площадь занимает щебень?Конус, площадь его поверхности и объем


Какова поверхность этой кучи щебня?


Каков её объем?


Задачи довольно сложные для человека, привыкшего преодолевать
математические трудности только на бумаге или на классной доске. Ведь необходимо
вычислить объем и поверхность конуса, высота и радиус которого не доступны для непосредственного
измерения. Вопросы к классу:


Как найти радиус?


(измерить окружность основания и разделить на 6,28 =
2p );


Как найти образующую?


(определить две образующие: перекинув метровую ленту через


вершину кучи);


Как найти высоту?


(определить по теореме Пифагора).


Задача: Пусть окружность конической кучи щебня 12 м. Длина
двух образующих – 4,6 м. Найти площадь поверхности кучи щебня и её объем.


Решение.


l = 4,6 / 2 = 2,3 м


r = 12,1 / 6,28 » 1,9 м


S = p *r*l = 3,14 * 1,9 * 2,3 = 13,7 м2


V = 1/3*p * r2* H = 1/3*3,14*1,92*Конус, площадь его поверхности и объем=
1/3*3,14*3,61*Конус, площадь его поверхности и объем =
1/3*3,14*3,61*Конус, площадь его поверхности и объем=1/3*3,14*3,61*1,3
» 4,9 м3


Комментарии учителя: При взгляде на коническую кучу щебня
или песка мне вспоминается старинная легенда восточных народов, рассказанная у А.С.
Пушкина в “Скупом рыцаре”. Послушайте её:


“Читал я где-то,


Что царь однажды воинам своим


Велел снести земли по горсти в кучу,-


И гордый холм возвысился,


И царь мог с высоты с весельем озирать


И дол, покрытый белыми шатрами,


И море, где бежали корабли”.


Какие ассоциации вызывают у Вас эти стихи?


Холм – конус.


Какого объема может быть этот холм?


Какой высоты мог быть этот холм?


На сколько километров может увеличиться панорама для наблюдения,
поднявшегося с подножия холма к его вершине?


Давайте попытаемся ответить на эти вопросы и проанализировать
этот текст (три ученика заранее подготовили ответ).


Первый ученик рассказывает. Это одна из тех немногих легенд,
в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Дело в том, что если какой-нибудь
древний деспот вздумал бы осуществить такую затею, то он был бы обескуражен мизерностью
результата: перед ним высилась бы настолько жалкая кучка земли, что никакая фантазия
не в силах была бы раздуть в легендарный, “гордый холм”. Сделаем примерный расчет:
Старинные армии были не так многочисленны, как в наше время. У Аттилы было самое
многочисленное войско, какое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 тысяч
человек.


Остановимся на этом числе, то есть примем, что холм составился
из 700000 горстей. Захватите самую большую горсть земли и насыпьте в стакан: Вы
не наполните его одной горстью. Все же примем, что горсть древнего воина равнялась
одному стакану, примерно 1/5 литра или 1/5 куб. дм.


Определим объем холла: (1/5)*700 000 = 140000 куб. дм.
= 140 куб. м. Значит холм представлял собой конус объемом не более 140 куб. м. Такой
скромный объем уже разочаровывает.


Учитель: Но продолжим расчеты. Найдем высоту этого холма.


Второй ученик рассказывает: Чтобы определить высоту холма,
нужно знать какой угол составляет образующая конуса с его основанием. В нашем случае
можно принять его равным углу естественного откоса, то есть 45° (рис. 2). Более
крупных склонов нельзя допустить, так как земля будет осыпаться. Остановившись на
угле в 45° , рассмотрим треугольник АВС.


Высота такого конуса равна радиусу его основания. h =
R ; V = 140 м3;


V = (1/3)*S*h = (1/3)*p *R2*h =


(1/3)*p *h3; 140 = (1/3)*p *h3;


p *h3 = 420; h3 » 133,76; h » 5,1 м.


В результате вычислений получили, что при объеме холма
140 м3, высота его составляет 5,1 м. Сомнительно, чтобы курган подробных размеров
мог удовлетворять честолюбие Аттилы. С таких небольших возвышений легко было бы
видеть дол, покрытый белыми шатрами, но обозревать море, было бы возможно только
если дело происходило невдалеке от берега.


Учитель: Итак, ответили на один вопрос, но остается еще
вопрос, возникший у нас : как далеко можно видеть с той или иной высоты?


Посмотрите на рисунок 3.


Третий ученик рассказывает. Ответим на вопрос, как велик
радиус круга, в центре которого видим себя на ровной местности или на высоте. Задача
сводится к вычислению длины отрезка СN касательной, проведенной из точки на уровне
глаза наблюдателя к земной поверхности.


Пусть h – рост наблюдателя (внешний отрезок секущей);
R – радиус Земли равный 6400 км. (h + 2R) – длина секущей CD, тогда СN2 = h*(h
+ 2R). Так как рост человека мал по сравнению с R, то h + 2R » 2R, следовательно
СN2 = h*2R. Рост человека до глаз примерно h = 1,6 м или 0,0016 км, тогда СN = Конус, площадь его поверхности и объем= Конус, площадь его поверхности и объем= 80*Конус, площадь его поверхности и объем = 4,52 км.


Воздушные облака Земли искривляют путь лучей и горизонт
отодвигает на 6%, тогда дальность видимости будет соответствовать 4,52*1,06 »
4,8 км, то есть на ровном месте человек видит не далее 4,8 км. Это гораздо меньше
, чем обычно думают люди, которые описывают дальний простор степей, окидываемых
взглядом.


Cходную ошибку делает А.С. Пушкин, говоря в “Скупом рыцаре”
о далеком горизонте.


Мы нашли, что высота холма приблизительно 5 метров. Если
наблюдатель встал на вершину конического холма, то глаз его возвысился бы


над почвой на 6.6 км. В этом случае дальность горизонта
была бы равна Конус, площадь его поверхности и объем» 9 км. Это всего
на 4 км больше того, чем можно видеть, стоя на ровной земле.


Подведем итог урока: Итак, Вы повторили, как находить элементы
конуса, объем и поверхность его, применили свои знания в “геометрии на воздухе”
и показали необходимость критически относится к текстам художественных произведений.
Сегодня на уроке мы использовали тонкость и строгость математики при решении нестандартных
задач. Надеюсь, что в дальнейшем теоретические знания, полученные на уроках геометрии,
Вы сможете успешно использовать в различных жизненных ситуациях.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы
с сайта http://www.sciteclibrary.ru



Скачиваний: 0
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат