К решению теоремы Ферма
Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
К решению
теоремы Ферма
Николай
Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС
Москва 2001 –
2004 год
Статья
посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что
кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к
рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему
доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.
Более 350 лет
профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако
до настоящнго времени нет
общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не
угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей
статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на
разделении числового множества yn + xn =zn (1)
на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения
уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только
нецелые решения.
Отделить друг
от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения
уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе
уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого
представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
(x - a)n + xn –(x+b)n =
0
(2)
Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости
от соотношения x,a, и n.
Сущность
доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом
последовательных приближений. Задача решается применительно к 450
сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z
равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7
секторов плоскости (x,y),
определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя
формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2
- cn3 xn-3 a3...... +an
(x+b)n =
xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn
= xn -
nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2)
- cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn)
=0
(3)
Назовем
выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2).
Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2),
будем искать при условии a=b=1.
Обоснование принятых допущений
(ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
xn - 2nxn-1 a
- 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)
Обозначим через P(a,n) =
2cn3 xn-3
a3 + 2cn5 xn-5 a5
+... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет
вид:
xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0
Разделив все
члены уравнения на xn-1, получим выражение для искомого x
x=2na+P(a,n)/xn-1 , где P(a,n)/xn-1 ³0 (5)
При
a = b = 1 выражение (5)
примет вид:
x=2n+P(1,n)/xn-1
(6)
Подходящие
значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6)
становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей
уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .
Исходя из
изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко
второму подмножеству yn + xn =zn
Ниже, в таблице
приведены результаты расчетов согласования
для n=2,3,4
и 5.
n
|
x
|
y=x-1
|
z=x+1
|
xn
|
yn
|
xn+
|
zn
|
D%
|
2
|
4
|
3
|
5
|
16
|
9
|
25
|
25
|
-
|
3
|
6,055
|
5,055
|
7,055
|
221
|
129
|
350
|
350
|
-
|
4
|
8,125
|
7,125
|
9,125
|
4350
|
2540
|
6890
|
6890
|
-
|
5
|
10,200
|
9,200
|
11,200
|
107000
|
66000
|
173000
|
175000
|
1,25 |