Интересные примеры в метрических пространствах

В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Интересные
примеры в метрических пространствах

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная
ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить
данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб
разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут
образовывать конечную Интересные примеры в метрических пространствах-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом
множестве, лежащем внутри этого куба.


Единичная сфера
S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного
множества. Рассмотрим в S точки вида:


е1=(1,
0, 0, ..., 0, 0, ...),


е2=(0,
1, 0, ..., 0, 0, ...),


…………………………,


еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),


………………………….


Расстояние
между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому
последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при
каком e<Ö2/2.


Рассмотрим в l2 множество П точек


x=(x1, x2, ¼, xn, ...),


удовлетворяющих
условиям:


| x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...


Это множество
называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем»)
пространства l2. Оно представляет собой пример
бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной
ограниченности поступим следующим образом.


Пусть e>0 задано.
Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)


из П сопоставим
точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)


из того же
множества. При этом


r(x,x*)=Интересные примеры в метрических пространствах£Интересные примеры в метрических пространствах<1/2n-1<e/2.


Множество П*
точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как
ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она
будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.


Доказательство:
для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.


"xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим


x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При
этом r(x,x*)<e/2. Из
пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.


Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.


Множество П*
содержит точки вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем
конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.

Список
литературы

Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/



Скачиваний: 0
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат