Гипотезы и модели временной структуры процентных ставок

К настоящему времени теория временной структуры процентных ставок представлена в русскоязычной экономической литературе лишь на самом элементарном уровне в учебниках по инвестициям и финансовому анализу.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Содержание

Введение 3
1. Модели временной структуры процентных ставок 5
1.1 Макроэкономические подходы 5
1.2 Факторные стохастические модели 8
1.3 Стохастические модели общего равновесия 16
2. Классификация теорий временной структуры процентных ставок 22
2.1 Теория ликвидности временной структуры 22
2.2 Теория предпочтительной среды обитания 26
Заключение 28
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 30
Задача 5. 30
Задача 9. 31
Задача 13 32
Задача 20 33
Задача 24 35
Список литературы 37

Введение

К настоящему времени теория временной структуры процентных ставок представлена в русскоязычной экономической литературе лишь на самом элементарном уровне в учебниках по инвестициям и финансовому анализу. В то же время рассматриваемая тема включает в себя множество моделей и исследований, широко используемых как при теоретическом анализе финансовых рынков на макроэкономическом уровне, так и при практической работе на рынках срочных и производных финансовых инструментов.
Данная работа имеет своей целью обобщить представление об основных гипотезах и моделях временной структуры процентных ставок, современном состоянии эмпирических исследований по различным аспектам данной темы.
Теории временной структуры процентных ставок:
- теория чистых ожиданий;
- теория ликвидности временной структуры;
- теория предпочтительной среды обитания.
Все три теории исходят из того, что каждый форвардный курс равен ожидаемой будущей процентной ставке на соответствующий период. Все вышесказанное говорит об актуальности данной темы на сегодняшний день.
Цель курсовой работы – рассмотреть теории временной структуры процентных ставок.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- рассмотреть основные гипотезы кривой доходности ценных бумаг (гипотезы ожиданий, предпочтения ликвидности, а также гипотезы об изменяющейся во времени премии за срок, сегментации рынков и «предпочитаемой» среды)
- приведен краткий обзор их эмпирических проверок;
- рассмотрены модели временной структуры, которые отнесены к четырем классам: макроэкономические подходы, факторные стохастические модели, стохастические модели общего равновесия и модели с отсутствием арбитража
Цель и задачи курсовой работы определили ее структуру. Курсовая работа состоит из введения, заключения, двух глав и списка литературы.
Объектом исследования являются процентные ставки. Предмет исследования - основные теории временной структуры процентных ставок
При написании курсовой работы использовался разнообразный монографический материал и данные периодической печати.

1. Модели временной структуры процентных ставок

1.1 Макроэкономические подходы

Макроэкономические подходы к анализу временной структуры процентных ставок направлены на изучение эффектов денежно-кредитной и фискальной политики в рамках стандартных макроэкономических теорий – неокейнсианства и неоклассики. Основное внимание уделяется различиям в реакции на действия государства в динамике краткосрочных и долгосрочных ставок. Такие модели не описывают движение всей кривой доходности, в них разделяются только краткосрочные и долгосрочные ставки.
Эмпирические проверки моделей временной структуры на основе макроэкономических подходов относятся к изучению факторов, влияющих на колебания премии за срок.
О. Бланшар рассматривает неокейнсианскую модель закрытой экономики в рамках подхода IS-LM с постоянным объемом капитала. В такой экономике существует один вид блага и четыре вида рыночных активов: акции (представляют физический капитал), частные краткосрочные и долгосрочные облигации и деньги.[13 C. 65]
Равновесие на рынке товаров. Предположим, что существует три основных фактора, определяющих текущие потребительские расходы. Во-первых, изменение цен акций на фондовом рынке. Поскольку акции представляют собой часть богатства, изменение их стоимости влияет на текущее потребление, а соотношение их цены и восстановительной стоимости капитала корпораций – на инвестиционные решения. Во-вторых, текущий доход, влияние которого в условиях ограничения на ликвидность не зависит от богатства. В-третьих, фискальная политика - как через государственные расходы, так и через налоги.
Таким образом, планируемые расходы могут быть выражены в следующем виде:
, (7)
где e – планируемые расходы, q – капитализация фондового рынка, y – текущий доход, g –государственные расходы. Все величины даны в реальном выражении.
Объем выпуска и планируемые расходы со временем приходят в равновесие ( – коэффициент «настройки»):
. (8)
Из (3.1) следует, что, во-первых, до тех пор, пока выпуск не отреагировал на увеличение спроса, происходит изменение товарных запасов; во-вторых, хотя фактические текущие расходы всегда равны выпуску, планируемые расходы могут отличаться от текущего выпуска.
Рассмотрим динамику изменения временной структуры для случая ожидаемого увеличения государственных расходов, поскольку это наиболее реалистичный сценарий проведения фискальной политики.
Здесь различаются два возможных варианта в зависимости от соотношения в модели: 1) при доминирующем росте прибыли и подъеме фондового рынка; 2) при доминирующем увеличении уровня процента и снижении цен акций.[8 C. 164]
В первом случае ожидаемый рост прибыли перекрывает ожидания увеличения уровня процента, и капитализация фондового рынка растет. В свою очередь, ожидания увеличения выпуска и уровня процента приводят к скачку вверх долгосрочных процентных ставок, в то время как краткосрочные ставки медленно растут по мере увеличения спроса на деньги.
Во втором случае в момент объявления об увеличении государственных расходов фондовый рынок падает, поскольку эффект от ожидания роста процентных ставок превышает ожидания увеличения прибыли. В период времени между объявлением о намерениях и изменением фискальной политики выпуск снижается, так как частные расходы снизились в результате эффекта богатства (реакция на снижение стоимости акций), а государственные – остались пока без изменений. Спрос на деньги и краткосрочные процентные ставки падают до момента t1. Долгосрочные ставки, однако, повышаются в ожидании будущего повышения уровня процента. После увеличения государственных расходов выпуск начинает расти, а вместе с ним – и краткосрочные ставки. Кривая доходности имеет положительный наклон на протяжении всего периода.
Неокейнсианские модели Турновски-Миллера и Маккафферти
С.Турновски и М.Миллер рассматривают неокейнсианскую модель закрытой экономики, аналогичную модели Бланшара. Отличие заключается в том, что авторы включают в модель рынок государственных, а не частных облигаций, исключив из рассмотрения фондовый рынок. Такая постановка задачи позволяет изучить влияние на временную структуру процентных ставок со стороны увеличения государственных расходов, осуществляемого за счет денежной экспансии, или расширения заимствований на финансовом рынке (выпуска государственных облигаций).
В случае финансирования дефицита государственного бюджета за счет увеличения предложения денег результаты полностью повторяют выводы Бланшара о поведении временной структуры процентных ставок при денежной экспансии (с жесткими ценами).
Если увеличение государственных расходов финансируется за счет выпуска облигаций, то, в соответствии с данной моделью, вид кривой доходности не изменится, краткосрочные и долгосрочные ставки будут одновременно подниматься до нового равновесного уровня.[11 C. 216]
Маккафферти, также в рамках неокейнсианского подхода, рассматривает влияние совокупного спроса на колебания доходности облигаций с разным сроком до погашения. В данной модели предполагается, что рынок товаров и денежный рынок приводятся в равновесие различными ставками процента (в рамках подхода IS-LM). Совокупный спрос на товары зависит от долгосрочной ставки процента, в то время как спрос на деньги определяется краткосрочными ставками. Кроме этого, модель Маккафферти допускала стохастический характер изменения цен облигаций, в то время как модели Бланшара и Турновски-Миллера были полностью детерминистские.
Модель Маккафферти стала прообразом нового класса макроэкономических подходов к изучению временной структуры процентных ставок, рассмотренному ниже.
Следующие три класса моделей временной структуры процентных ставок рассматривают движения цен облигаций с различными сроками до погашения как динамику цен финансовых активов, представленную в виде стохастического процесса, и не предназначены для целей анализа макроэкономических последствий различных вариантов денежно-кредитной и фискальной политики.

1.2. Факторные стохастические модели

Стохастические методы изучения цен финансовых активов получили широкое распространение после опубликования в 1973 году работ Блэка, Шоулза и Мертона по ценообразованию на опционы. В последующие несколько лет представление о случайном характере формирования цен финансовых активов стало преобладающим среди экономистов, изучающих финансовые рынки.
Применительно к теории временной структуры процентных ставок можно выделить три группы стохастических моделей: факторные модели, модели общего равновесия и модели с отсутствием арбитража. Основное отличие между этими группами заключается в предпосылке о том, выступают ли доходности облигаций с различными сроками до погашения в качестве эндогенной переменной, либо они считаются экзогенно заданными. Дальнейшее построение теоретической модели и эмпирические проверки ее адекватности наблюдаемым данным основываются на принимаемой предпосылке.[14 C. 179]
Основной целью построения факторных стохастических моделей является объяснение динамики процентных ставок ценных бумаг с различными сроками до погашения. В качестве исходного пункта для построения таких моделей задаются один или несколько случайных факторов, объясняющих поведение краткосрочных процентных ставок. Общепринятым термином для обозначения краткосрочных процентных ставок во всех факторных стохастических моделях (также как в моделях общего равновесия и моделях с отсутствием арбитража) является «спот-ставка». Далее принятый стохастический процесс специфицируется таким образом, чтобы соответствовать фактической временной структуре. Следующий шаг состоит в получении условия равновесия, которое предполагает возможность безрискового арбитража, и определении премии за срок в зависимости от случайного фактора. На основе факторной модели строится дифференциальное уравнение цены облигации в частных производных, имеющее аналитическое решение.
Васичек рассматривает рынок дисконтных облигаций, которые могут быть свободно куплены и проданы по рыночной цене. Риск дефолта по облигациям отсутствует. Цена облигации с датой погашения T в любой момент времени t обозначается p(t, T). В момент погашения цена облигации равна единице, т. е. p(T, T) = 1. Доходность к погашению равна , где m = T – t > 0 – срок обращения облигации. как функция от m представляет временную структуру процентных ставок на момент t. Спот-ставка определяется как мгновенная процентная ставка для заимодателя и заемщика:
. (9)
Принимаются следующие три предпосылки:
1. Движение спот-ставки соответствует непрерывному Марковскому (диффузионному) процессу. Рассматривается случай, когда спот-ставка определяется процессом с возвращением к среднему (процессом Орнстейна-Уленбека):
, (10)
где  – долгосрочное среднее значение спот-ставки, z(t) – Винеровский процесс. Такой процесс имеет стационарное распределение. Параметр дисперсии постоянен и равен . Параметр дрейфа характеризует скорость возвращения процесса к долгосрочному среднему значению, пропорциональную отклонению текущего значения спот-ставки от среднего .
Условные математическое ожидание спот-ставки и дисперсия в момент времени t равны:
. (11)
2. Цена дисконтной облигации p(t, T) на протяжение всего срока до погашения определяется оценкой в момент времени t участка стохастического процесса спот-ставки . Необходимо отметить, что все гипотезы временной структуры (ожиданий, предпочтения ликвидности, сегментации рынка и «предпочитаемой среды») соответствуют предположению (2), поскольку они принимают временную структуру в виде с различными видами функции .
3. Рынок эффективен. Это означает, что информация доступна всем инвесторам в равной степени и все инвесторы действуют рационально (предпочитают более высокий уровень богатства меньшему, используют всю доступную информацию). Трансакционные издержки отсутствуют. Таким образом, инвесторы имеют одинаковые ожидания, и невозможен безрисковый арбитраж, дающий прибыль.
Согласно предположению (1), приращения спот-ставки на временном интервале (t, T) зависят только от текущего уровня спот-ставки, r(t). Следовательно, из предположения (2) следует, что цена облигации является функцией от спот-ставки:
. (12)
Значение спот-ставки является единственной переменной состояния (фактором), определяющим временную структуру. Ожидания формируются на основе знания о всей предыдущей динамике всех доходностей к погашению, включая текущую кривую доходности. В силу предположения об эффективности это эквивалентно тому, что условные ожидания формируются на основе текущего значения спот-ставки. Поскольку мы рассматриваем только одну переменную состояния, мгновенные доходности облигаций с разными сроками до погашения коррелированы. Таким образом, нам достаточно двух облигаций (краткосрочной и любой другой) для описания всей временной структуры процентных ставок. Тем не менее, на любом конечном отрезке времени доходности от держания облигаций не корррелированы, и те инвесторы, которые не хотят непрерывно пересматривать свой портфель облигаций, должны иметь для достижения своих целей набор облигаций с разными сроками до погашения.[13 C. 75]
Поскольку цена облигации является функцией от спот-ставки, заданной стохастическим процессом, для нахождения темпа ее прироста необходимо применить правила дифференцирования согласно лемме Ито. Таким образом, динамика цены облигации, , соответствует стохастическому дифференциальному уравнению в частных производных:
, (13)
где – рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании портфеля облигаций с разными сроками до погашения. Для заданной рыночной цены риска решение уравнения находится при ограничении .
Таким образом, чем длиннее срок до погашения облигации, тем больше дисперсия мгновенной доходности от держания, а превышение ее математического ожидания над спот-ставкой пропорционально стандартному отклонению.
Уравнение временной структуры процентных ставок принимает следующий вид:
. (14)
Согласно уравнению (4.4) кривая доходности начинается в точке m = 0 с уровня, равного r(t), и приближается к асимптоте при . При значениях r(t), меньших или равных , кривая доходности монотонно возрастает. При значениях r(t), больших , но меньших , она имеет «горб». Если r(t) равно или больше , кривая доходности монотонно убывает.[13 C. 84]
Уравнения полностью описывают поведение процентных ставок при принятых предпосылках. Они позволяют вычислить доходности облигаций с разными сроками до погашения в любой момент времени, а также динамику изменения цены облигации на всем сроке до погашения. Кроме того, уравнение 14 описывает динамику доходности облигации с заданным сроком до погашения на рассматриваемом интервале времени. Так как спот-ставка распределена нормально (свойство процесса Орнстейна-Уленбека), а временная структура является линейной функцией от спот-ставки, процентные ставки ценных бумаг с разными сроками до погашения также распределены нормально.
Однофакторные модели Дотана и Кокса-Ингерсолла-Росса
В модели Дотана (Dothan, 1978) в качестве фактора также принимается краткосрочная безрисковая спот-ставка, однако ее динамика представлена в виде геометрического Винеровского процесса без сдвига:
,
где  – константа, dz – Винеровский процесс. В отличие от модели Васичека такая запись предполагает логнормальное распределение спот-ставки, т. е. спот-ставка всегда положительная (модель Васичека допускала отрицательные значения спот-ставки). Однако у Дотана отсутствует член, отвечающий за «возвращение к среднему», в то время как в реальности наблюдается цикличность изменения процентных ставок. Дифференциальное уравнение цены облигации для условия отсутствия арбитража:
. (15)
Рыночная цена риска () принимается в модели потоянной, т. е. не зависит от времени, уровня спот-ставки. Решение уравнения для цены p(r, t) находится при начальном и краевых ограничениях
,
и записывается в следующем виде:
. (16)
Как показано Дотаном, цена облигации является убывающей выпуклой функцией от спот-ставки и времени, возрастающей вогнутой функцией от . Временная структура процентных ставок является монотонно убывающей функцией в любой момент времени t. Кроме того, доходность к погашению является возрастающей вогнутой функцией от спот-ставки и убывающей выпуклой функцией от .
Двухфакторные модели Бреннана-Шварца и Шефера-Шварца
В 1978 году Ричард рассмотрел возможность применения формулы Блэка-Шоулза для моделирования временной доходности облигаций в случае двух факторов. Ричард ввел второе уравнение состояния, описывающее динамику инфляции, разделив тем самым номинальные и реальные процентные ставки. Его модель стала первой в классе многофакторных моделей временной структуры процентных ставок. Развитие многофакторных (двухфакторных) моделей связано также с работой Бреннана и Шварца. [19 C. 154]
Бреннан и Шварц рассматривают цену облигации, не подверженной риску дефолта, как функцию от двух переменных состояния: спот-ставки и долгосрочной процентной ставки (ставки по облигации с бесконечно длинным сроком до погашения, l). Стохастические процессы, описывающие динамику переменных состояния, определяется следующим образом:
. (17)
Такая формулировка предполагает, что приращение каждой из процентных ставок пропорционально текущему значению ставки. Функция дрейфа в выражении для краткосрочной спот-ставки соответствует гипотезе ожиданий временной структуры: если долгосрочные ставки заключают в себе информацию об ожидаемых будущих краткосрочных ставках, то краткосрочные ставки должны «возвращаться» к текущему значению долгосрочной ставки, т.е. . Коэффициент пропорциональности в функции дрейфа для процесса динамики долгосрочных ставках принимается как линейная функция от r и l.
Шефер и Шварц представили альтернативную двухфакторную модель. В качестве переменных состояния взяты ставка по облигации с бесконечным сроком обращения, l, и спрэд между безрисковой спот-ставкой и ставкой по облигации с бесконечным сроком обращения, s. Кроме того, функция дисперсии в уравнении для долгосрочной процентной пропорциональна уровню (в модели Бреннана-Шварца квадрату уровня) данной ставки. Динамика переменных состояния описывается стохастическими процессами:
. (18)
Рыночная цена риска  принимается как константа, а коэффициент корреляции между Винеровскими процессами dz1 и dz2 – равным нулю.
Дифференциальное уравнение цены облигации принимает вид:
. (19)
Решение уравнения при ограничении p(s, l, T) = 1 может быть представлено как , m – срок до погашения, где

.
Первый член произведения в формуле цены аналогичен цене облигации в модели Васичека, в то время как второй – решению в моделях общего равновесия (см. ниже).
Временная структура процентных ставок описывается уравнением
. (20)
Таким образом, временная структура процентных ставок не зависит явным образом от времени, но является функцией от срока до погашения m.

1.3. Стохастические модели общего равновесия

Модели общего равновесия очень близки однофакторным моделям временной структуры. Во многих случаях исследователи не делают различия между ними, так как оба класса моделей работают с одинаковым математическим аппаратом. Цена облигации определяется как стохастический процесс, определяемый одной или несколькими переменными состояния (факторами). Однако если факторные модели рассматривают динамику цены финансового актива в отрыве от экономики в целом, стохастический процесс задается произвольно, то в данном классе моделей рассматривается условие общего равновесия в экономике.
В 1985 году Кокс, Ингерсолл и Росс нашли решение для цен финансовых активов в рамках модели общего равновесия в экономике, а также представили его частный случай для определения временной структуры процентных ставок.
Рассматривается межвременная модель конкурентной экономики в непрерывном времени. В такой экономике существует одно благо, и цены всех активов измеряются в единицах этого блага. Производственные возможности представлены множеством из n видов экономической деятельности с линейной производственной функцией. Вектор ожидаемых доходностей данных видов экономической деятельности обозначим , а их матрицу ковариации – GG', где G матрица с размерностью . Компоненты  и GG' являются функциями k-мерного вектора Y, характеризующего уровень технологии и изменяющегося стохастически во времени. Динамика Y, таким образом, определяет производственные возможности, которые доступны для экономики в будущем. Вектор ожидаемых изменений Y – , а матрица их ковариации – SS'. [13 C. 92]
Экономика состоит из одинаковых индивидуумов, каждый из которых максимизирует свою целевую функцию, представленную в виде
, (21)
где C (s) – потребление в момент s, U – функция полезности Ноймана-фон Моргенштерна, t' – окончание временного горизонта ожиданий. Максимизируя свою целевую функцию, каждый индивидуум выбирает оптимальный уровень потребления C*, оптимальное распределение  богатства W между инвестициями в различные виды производства, оптимальное распределение b* богатства между инвестициями в различные виды финансовых активов. Финансовые активы оцениваются эндогенно, так что платежи по ним являются функциями от богатства и технологии. Остаток имеющегося богатства, который определяется из бюджетного ограничения, занимается или одалживается по ставке r. Неявная функция полезности J = J(W, Y, t) выводится при решении задачи максимизации.
Для исследования временной структуры процентных ставок рассматривается случай функции полезности с постоянным абсолютным неприятием риска. В частности, функция полезности U[C(s), Y(s), s] не зависит от переменной состояния Y и имеет вид
, (22)
где  – постоянный дисконтирующий фактор. Косвенная функция полезности выражается как
. (23)
Такой вид косвенной функции полезности позволяет сделать два важных упрощения: 1) коэффициент относительного неприятия риска для этой функции полезности постоянен и не зависит от богатства и переменной состояния:
; (24)
2) эластичность предельной полезности богатства по отношению к переменной состояния не зависит от богатства:
. (25)
Оптимальное распределение инвестиционного портфеля a* зависит от Y и не зависит от W. Следовательно, вектор факторов премии за риск и равновесная процентная ставка также зависят только от Y.
Цена облигации является убывающей выпуклой функцией от процентной ставки и убывающей функцией от срока до погашения. Влияние параметров стохастического процесса спот-ставки различно: цена облигации является убывающей выпуклой функцией от среднего долгосрочного уровня спот-ставки  и возрастающей вогнутой (убывающей выпуклой) функцией от параметра скорости возвращения к среднему , если процентная ставка выше (ниже) . Кроме того, цены облигаций – возрастающие вогнутые функции от рыночной цены риска . Это может быть объяснено тем, что высокие значения цены риска означает большую ковариацию процентных ставок с богатством. Таким образом, при высоких значениях параметра риска цены облигаций, вероятно, будут выше. Это соответствует низкому уровню богатства и, следовательно, его более высокой предельной полезности. Цена облигации является возрастающей вогнутой функцией от . Наиболее важным объяснением последнего может служить то, что при высоких значениях дисперсии, характеризующих рост неопределенности относительно будущих производственных возможностей, не склонные к риску инвесторы оценивают актив с гарантированной прибылью выше.
Доходность к погашению облигации будет в таком случае равна
. (26)
При приближении даты погашения доходность к погашению стремится к значению текущей спот-ставки, при любых значениях параметров. Доходность к погашению облигации при увеличении срока обращения до бесконечности стремится к пределу . Если спот-ставка ниже данного значения, кривая доходности монотонно возрастает. При спот-ставке выше временная структура имеет отрицательный наклон. Если значения краткосрочной процентной ставки находятся в промежутке между данными величинами, кривая доходности имеет «горб».[18 C. 215]
В 1989 году Лонгстафф опубликовал статью с альтернативным представлением стохастического процесса в рамках той же самой модели экономики, что и у Кокса-Ингерсолла-Росса. Однако предполагается, что динамика переменной состояния Y следует стохастическому процессу , где m < 0, s > 0 константы, а динамика спот-ставки пропорциональна квадрату переменной состояния r ~ Y2. В этом случае скорость возвращения к долгосрочному среднему значению пропорциональна , а не . Таким образом, динамика мгновенной безрисковой ставки описывается нелинейным стохастическим уравнением:
, (27)
причем .
Такой процесс сохраняет все свойства, присущие поведению спот-ставки в модели Кокса-Ингерсолла-Росса. Кроме того, ему присущи еще два важных свойства. 1) Для описания динамики процентной ставки (в силу ) требуется знание только двух параметров:  и . Долгосрочное среднее значение ставки не может быть определено отдельно от других параметров процесса. Например, если увеличивается, то растет и среднее значение, и наоборот. 2) Скорость, с которой процентная ставка возвращается к среднему значению , несимметрична; высокие процентные ставки менее гибки. Это вызвано тем, что параметр дрейфа пропорционален . При наблюдается восходящий дрейф спот-ставки. При дрейф – нисходящий. Однако дрейф слабее (по абсолютному значению) когда спот-ставка равна , чем при . Такая асимметрия ведет к тому, что ставка возвращается к среднему с более высоких значений медленнее, чем с более низких. Условные математическое ожидание и дисперсия в момент времени s > t линейны по отношению к r:
. (28)
Уравнение цены облигации принимает вид
. (29)
Ожидаемая мгновенная доходность от владения дисконтной облигацией равна . Так же, как и в модели Кокса-Ингерсолла-Росса, она пропорциональна эластичности цены облигации по проценту, и премия за срок положительна при отрицательной цене риска.
При решении уравнения (5.2) мы получаем равновесную цену облигации в следующем виде:
,
где

.
Цена облигации является функцией от двух переменных: спот-ставки и срока до погашения и параметрически зависит от констант , 2, . Отличительной чертой данного решения является то, что доходность к погашению нелинейно зависит от спот-ставки. В большинстве других моделей (факторных, общего равновесия, с отсутствием арбитража) зависимость линейна.
Доходность к погашению дисконтной облигации равна
. (30)
Благодаря нелинейности данная модель охватывает более сложные (и реалистичные) формы кривой доходности, чем модели с линейной зависимостью от спот-ставки. В частности, модель соответствует случаям с переменной выпуклостью и вогнутостью кривой доходности, которые не могут быть описаны с помощью модели Кокса-Ингерсолла-Росса.

2. Классификация теорий временной структуры процентных ставок

2.1 Теория ликвидности временной структуры

Интерес к изучению временной структуры процентных ставок возник давно, еще в конце XIX века. Первой (и наиболее часто проверяемой в эмпирических исследованиях до сих пор) является гипотеза ожиданий.
Гипотеза ожиданий (expectations hypothesis), в общем виде, предполагает, что долгосрочные процентные ставки отражают ожидания краткосрочных ставок.
Предположения о том, что текущие долгосрочные процентные ставки должны содержать информацию о будущих коротких ставках появились еще в конце XIX века. Значительный вклад в развитие данной гипотезы был сделан в работе И. Фишера в 1930 году, посвященной изучению взаимосвязи между реальной и номинальной ставками процента. Представление номинальной процентной ставки как суммы желаемой реальной процентной ставки и ожидаемой инфляции позволило выдвинуть идею о способности долгосрочных процентных ставок предсказывать не только короткие ставки, но и инфляцию (при условии постоянного уровня реального процента).
Различают два типа гипотезы ожиданий: чистую гипотезу ожиданий и, собственно, гипотезу ожиданий. [13 C. 21]
Чистая гипотеза ожиданий утверждает, что долгосрочные процентные ставки равны среднему от ожидаемых краткосрочных процентных ставок. В первоначальном виде гипотеза ожиданий предполагала совершенное предвидение и нейтральность инвесторов по отношению к риску. Это утверждение равносильно нескольким эквивалентным определениям.
1) Ожидаемая доходность от владения облигациями с любыми сроками до погашения за период времени будет одинаковой и равна спот-ставке по облигации с сроком до погашения :
,
или
.
2) Спот-ставка по облигации, погашаемой через периодов, равна ожидаемой ставке за период владения облигацией с большим сроком до погашения:
.
3) Доходность долгосрочной облигации равна среднему ожидаемых доходностей краткосрочных облигаций за весь срок до погашения:
.
4) Форвардная премия за срок равна нулю для любого срока до погашения (форвардная ставка равна ожидаемой спот-ставке):
. (1)
Из формулы (2.1) следует, что однопериодная форвардная ставка по инвестициям, совершенным через какое-то время n в будущем, должна обладать свойством мартингала:
(2)
Однако многие исследователи, указывали на то, что в таком виде гипотеза ожиданий противоречила ряду требований к общепринятому к началу 70-х годов представлению динамики цен в виде стохастических процессов. В частности, не могло быть выполнено условие неравенства Дженсена. Развитие теории рациональных ожиданий позволило преодолеть возникшее противоречие. С этого времени гипотеза ожиданий для временной структуры предполагала наличие ненулевой премии в зависимости от срока до погашения. Гипотеза рациональных ожиданий применительно к временной структуре процентных ставок вошла в большинство учебников по теории финансов, макроэкономике и денежной теории под названием собственно гипотезы ожиданий.
Согласно данной гипотезе ожиданий ожидаемая избыточная доходность (премия за срок) равна постоянной величине, одинаковой для облигаций со всеми сроками до погашения,
, (3)
т. е. форвардная премия за срок постоянна и одинакова для всех сроков до погашения:
.
Оба вида гипотезы ожиданий обладают рядом свойств, позволяющих объяснить форму наблюдаемых кривых доходности. Во-первых, они объясняют, почему доходности облигаций с различными сроками до погашения движутся однонаправлено. Если рост краткосрочных процентных ставок сегодня воспринимается как долгосрочное повышение уровня процента, то сохраняются ожидания их роста и в будущем. Ожидаемое повышение краткосрочных ставок вызывает рост долгосрочных ставок в текущем периоде. Таким образом, краткосрочные и долгосрочные ставки движутся однонаправлено.[6 C. 165]
Во-вторых, гипотезы ожиданий объясняют, почему кривая доходности имеет положительный наклон, когда краткосрочные ставки низки, и отрицательный наклон, когда краткосрочные ставки высоки. Если краткосрочные ставки низки (ниже долгосрочного среднего уровня), то экономические агенты ожидают их роста, если высоки (выше долгосрочного среднего уровня) – снижения. Таким образом, долгосрочные ставки, равные среднему текущих и будущих краткосрочных ставок, оказываются выше или ниже доходности коротких облигаций.
В-третьих, данные гипотезы объясняют большую волатильность краткосрочных ставок по сравнению с долгосрочными. Поскольку процентные ставки демонстрируют свойство возвращаться к среднему, то среднее краткосрочных ставок должно иметь меньшую волатильность, чем сами спот-ставки.
Гипотеза предпочтений ликвидности предполагает, что форвардная премия за срок постоянна во времени, но зависит от срока до погашения облигации, . Облигации с большим сроком до погашения рассматриваются как более рисковые, чем краткосрочные облигации, даже если мы рассматриваем один и тот же период владения облигациями. С ростом срока до погашения премия за ликвидность и, соответственно, ожидаемая ставка за период владения облигацией увеличиваются:
. (4)
Гипотеза предпочтения ликвидности объясняет (в той же логике. что и гипотеза ожиданий) однонаправленное движение краткосрочных и долгосрочных спот-ставок, положительный наклон кривой доходности. Однако она не может в полной мере объяснить отрицательный наклон кривой доходности. Согласно данной гипотезе, долгосрочные ставки могут быть ниже краткосрочных только в том случае, если краткосрочные ставки настолько сильно превышают средний уровень, что это перекрывает положительную премию за срок.
Дальнейшее развитие гипотезы было направлено на изучение свойств премии: является ли премия постоянной, либо она изменяется под воздействием других факторов. В частности, Вудвард и Дэй предполагали, что премия, в большей степени определяется предельной склонностью к потреблению, чем предельной склонностью к замещению между бумагами с различными сроками до погашения. [9 C. 215]

2.2 Теория предпочтительной среды обитания

Четвертой гипотезой, объясняющей различие в уровнях доходности бумаг с различными сроками погашения, является теория сегментации рынков.
Гипотеза сегментации рынков основывается на предположении о том, что различные инвесторы могут иметь различные предпочтения относительно желаемых сроков инвестирования, либо принуждены законодательно осуществлять вложения в облигации с определенными сроками до погашения. В таком случае, вероятно, существуют несколько отдельных рынков для бумаг с различными сроками до погашения, и цены облигаций устанавливаются в зависимости от спроса и предложения на каждом из рынков. При этом, вследствие разного рода ограничений, арбитраж между этими рынками невозможен, и облигации с различными сроками до погашения не могут выступать как субституты при инвестировании на какой-либо период времени.
Таким образом, рассчитываемый избыточный доход от владения облигацией с определенным сроком до погашения (форвардная премия за срок) зависит от объема предложения и спроса на облигации с каждым из сроков до погашения:
, (6)
где s = s(t, m) – функция, определяющая относительную привлекательность облигаций со сроком погашения m в общем объеме всех выпущенных облигаций.
Предположение о том, что ставки процента на разные сроки отличаются вследствие того, что спрос на активы с разным сроком обращения предъявляется со стороны различных групп инвесторов, было впервые выдвинуто в работе Culbertson, 1957. [15 C. 176]
Гипотеза сегментации рынков объясняет преимущественно положительный наклон кривой доходности тем, что спрос на долгосрочные облигации обычно меньше, чем на краткосрочные. Однако данная гипотеза не может убедительно ответить на вопросы, почему ставки по краткосрочным и долгосрочным облигациям движутся однонаправлено и почему кривая доходности имеет положительный наклон при низких краткосрочных ставках и отрицательный – при высоких.
Пятой гипотезой, объясняющей вид кривой доходности, является так называемая «теория предпочитаемой среды».
Теория предпочитаемой среды отрицает наличие фундаментальных макроэкономических основ определения форвардной премии за срок. Предполагается, что инвестор, в первую очередь – непрофессиональный, имеет свой собственный горизонт инвестиций (наиболее приемлемый и удобный для него с точки зрения получаемого дохода, цели инвестирования и трансакционных издержек срок вложения) и предпочитает покупать облигации, срок до погашения которых не выходит за его пределы. Наблюдаемая на рынке временная структура доходности ценных бумаг является результатом принятия экономическими агентами множества независимых решений. В каждой из таких «сред» существуют свои спрос и предложение, что может приводить к любому знаку и изменению премии за срок. Таким образом, лишь облигации с близкими сроками до погашения могут рассматриваться как субституты и иметь одинаковую форвардную премию за срок. По своим объясняющим свойствам теория предпочитаемой среды близка гипотезе сегментации рынков.
Данная гипотеза, фактически, не противоречит ни одному из перечисленных ранее предположений, объясняющих временную структуру процентных ставок.

Заключение

Заканчивая рассмотрение данной темы необходимо сделать следующие выводы:
Макроэкономические подходы к анализу временной структуры процентных ставок направлены на изучение эффектов денежно-кредитной и фискальной политики в рамках стандартных макроэкономических теорий – неокейнсианства и неоклассики. Основное внимание уделяется различиям в реакции на действия государства в динамике краткосрочных и долгосрочных ставок. Такие модели не описывают движение всей кривой доходности, в них разделяются только краткосрочные и долгосрочные ставки.
С.Турновски и М.Миллер рассматривают неокейнсианскую модель закрытой экономики, аналогичную модели Бланшара. Отличие заключается в том, что авторы включают в модель рынок государственных, а не частных облигаций, исключив из рассмотрения фондовый рынок. Такая постановка задачи позволяет изучить влияние на временную структуру процентных ставок со стороны увеличения государственных расходов, осуществляемого за счет денежной экспансии, или расширения заимствований на финансовом рынке (выпуска государственных облигаций).
В случае финансирования дефицита государственного бюджета за счет увеличения предложения денег результаты полностью повторяют выводы Бланшара о поведении временной структуры процентных ставок при денежной экспансии (с жесткими ценами).
Применительно к теории временной структуры процентных ставок можно выделить три группы стохастических моделей: факторные модели, модели общего равновесия и модели с отсутствием арбитража. Основное отличие между этими группами заключается в предпосылке о том, выступают ли доходности облигаций с различными сроками до погашения в качестве эндогенной переменной, либо они считаются экзогенно заданными. Дальнейшее построение теоретической модели и эмпирические проверки ее адекватности наблюдаемым данным основываются на принимаемой предпосылке.
Интерес к изучению временной структуры процентных ставок возник давно, еще в конце XIX века. Первой (и наиболее часто проверяемой в эмпирических исследованиях до сих пор) является гипотеза ожиданий.
Гипотеза ожиданий (expectations hypothesis), в общем виде, предполагает, что долгосрочные процентные ставки отражают ожидания краткосрочных ставок.
Гипотеза предпочтения ликвидности объясняет (в той же логике. что и гипотеза ожиданий) однонаправленное движение краткосрочных и долгосрочных спот-ставок, положительный наклон кривой доходности. Однако она не может в полной мере объяснить отрицательный наклон кривой доходности. Согласно данной гипотезе, долгосрочные ставки могут быть ниже краткосрочных только в том случае, если краткосрочные ставки настолько сильно превышают средний уровень, что это перекрывает положительную премию за срок.
Четвертой гипотезой, объясняющей различие в уровнях доходности бумаг с различными сроками погашения, является теория сегментации рынков.
Гипотеза сегментации рынков основывается на предположении о том, что различные инвесторы могут иметь различные предпочтения относительно желаемых сроков инвестирования, либо принуждены законодательно осуществлять вложения в облигации с определенными сроками до погашения. В таком случае, вероятно, существуют несколько отдельных рынков для бумаг с различными сроками до погашения, и цены облигаций устанавливаются в зависимости от спроса и предложения на каждом из рынков. При этом, вследствие разного рода ограничений, арбитраж между этими рынками невозможен, и облигации с различными сроками до погашения не могут выступать как субституты при инвестировании на какой-либо период времени.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача 5.
Коммерческий банк предлагает сберегательные сертификаты номиналом 500 000 со сроком погашения через 5 лет и ставкой доходности 50% годовых. Банк обязуется выплатить через 5 лет сумму в 2,5 млн. руб.
Проведите анализ эффективности данной операции для вкладчика.
Решение
1. Определяем реальную сумму погашения по данному сертификату
FVфакт = N*(1+r)n
500000*(1+0,5)5 = 3 796 875 руб.
Полученная величина в 1,52 раза больше величины FV 2 500 000 руб. обещанной банком, т.е. предложение банка является недобросовестным.
2. Доходность к погашению соответствует ставке:
Yтм = или 38%, а не 50% объявленные банком.
3. Объявленная банком ставка доходности 50% обеспечивается лишь в том случае, если бы сертификат продавался по цене:
PV = , т.е. с дисконтом в 1,52 раза меньше номинала.

Задача 9.
Стоимость акции «Ш» на конец текущего года составила 22,0. ожидается, что в течение следующих 5 лет будут осуществлены следующие дивидендные выплаты.

Год 1 2 3 4 5
Сумма D 1,00 1,20 1,10 1,30 1,25

Определите цену, по которой акция может быть продана в конце пятого года, если норма доходности равна: а) 10%, б) 15%.
Решение
Определяем цену Р5 при Y = 0,1

22 =
22 = 4,39 +
17,61 = Р5 / 1,61
Р5 = 17,61*1,61= 28,35.
В конце пятого года акция может быть продана за 28,35 при норме доходности 0,1
Определяем цену Р5 при Y = 0,15

22 =
22 = 3,87 +
18,13 = Р5 / 2,01
Р5 = 18,13*2,01= 36,44
В конце пятого года акция может быть продана за 36,44, при норме доходности 0,15

Задача 13
Имеются следующие данные о риске и доходности акций А, В и С.
Акция Доходность Риск (σi) Ковариация
А 0,05 0,1 Σ12 = -0,1
В 0,07 0,4 Σ13 = 0,0
С 0,3 0,7 Σ23 = 0,3

Сформулируйте оптимальный портфель при условии, что максимально допустимый риск для инвестора не должен превышать 14%.
Решение.
1. Если портфель состоит из трех активов, то риск портфеля определяют по формуле
var (Rp) = w12 var (R1) + w22 var (R2) + w32 var (R3) + 2w1w2 cov(R1R2) + 2w1w3cor(R1R3) + 2w2w3cor(R2R3)
Подставляя исходные данные получим
Вариация Var (Rp) = 0,1w12 + 0,4w22 + 0,7w32 - 0,2w1w2 + 0,6w2w3
2. Записываем функцию Лагранжа для решения задачи
L = var (Rp) + λ*( wi - 1) или
0,1w12 + 0,4w22 + 0,7w32 - 0,2w1w2 + 0,6w2w3 + λ*(w1 + w2 + w3 - 1)
3. по теореме Куна-Такера для оптимальности решения задачи необходимо и достаточно, чтобы
i = 1,2,3
– частное производное

Выполняем дифференцирование и составляем систему уравнений

Решая систему уравнений получим
λ = -0,136
w1 = 0,73
w2 = 0,18
w3 = 0,1
4. Определяем доходность оптимального портфеля:
E(Rp) = w1E(R1) + w2E(R2) + w3E(R3) =0,73*0,05+0,18*0,07+0,1*0,3 = 0,079
5. Определяем риск оптимального портфеля
var (Rp) = 0,1w12 + 0,4w22 + 0,7w3 - 0,2w1w2 + 0,6w2w3 = =0,1*0,5329+0,4*0,0324+0,7*0,1-0,2*0,73*0,18+0,6*0,18*0,1 = 0,1208 или
12,08 % < 14% что меньше требуемых инвестором 14%, следовательно, оптимальный портфель сформирован Задача 20 Вы являетесь менеджером пенсионного фонда. Который должен будет выплатить своим клиентам 1 000 000,00 через 10 лет. В настоящее время на рынке имеются только два вида финансовых инструментов: бескупонная облигация со сроком погашения через 5 лет и 100-летняя облигация со ставкой купона 5% годовых. Рыночная ставка равна 5%. В каких пропорциях вы распределите имеющиеся средства между данными инструментами, чтобы хеджировать обязательство фонда? Дюрация портфеля равна средней взвешенной из дюраций входящих в него актива. Решение. 1. Предположим, что r = 0,05 не меняется во времени, тогда планируемая стоимость инвестиций в облигации: V = P * (1+r)T = 1000000 * (1+0,05)10 = 1628895, т. е. на момент Т при любых изменениях на рынке облигаций инвестор должен обеспечить стоимость своей инвестиции не менее чем 1628895. 2. Дюрация для купонных облигаций всегда равна сроку погашения: D1 = n1 = 5 лет; Курсовая стоимость бескупонной облигации на момент покупки: К1 = YTM = r – доходность к погашению. 3. Дюрация D2 для бессрочной облигации равна предельной величине дюрации LVD = 4. В начальный момент инвестор формирует портфель облигаций так чтобы его дюрация равнялась Т. с учетом подсказки можно записать следующее: w1 = 0,69 w2 = 0,31, т.е. в бескупонную облигацию нужно вложить (P0)1 = 1000000*0,69 = 690000, а в столетнюю (P0)2 = 1000000*0,31 = 310000, т.е. в начальный момент времени должен быть сформирован портфель облигаций П0=П (690000; 310000) 5. Через 5 лет бескупонная облигация будет погашена и принесет доход, т.к. покупалась по курсу 78,35, а будет погашена по номиналу (Р5)1 = Р1*(100/К1) – Р1 = 690000*(100/78,35) – 690000 = 190664. Через 5 лет в момент времени Е1 = 5 инвестор получит поток платежей по бессрочной облигации в сумме: (Р5)2 = 0,05 * 1000000 * 4,33 = 216500, т.е в результате осуществления стратегии хеджирования инвестор через 6 лет будет иметь Р5 = Р +(Р5)1 + (Р5)2 = 1000000 + 190664 + 216500 = 1407164, через 5 лет невозможно сформировать портфель облигаций, т.к. первая облигация окажется погашенной тогда, когда вся сумма 1407164 может быть вложена в бессрочную облигацию и за оставшиеся 5 лет принесет доход Р10 = k*P5 = 0,05*1407164*4,33 = 304651 , тогда сумма на момент Т = 10 лет 1407164 + 304651 = 1711815, что больше чем планируемая стоимость в облигации 1711815 > 1628895.

Задача 24
Брокер Н (см. условие предыдущей задачи) заметил, что спрос вырос, и повысил цену на свой портфель с 60 до 75,0
А) Приостановит ли свои действия инвестор после повышения цены?
Б) Что он должен предпринять, чтобы по –прежнему извлекать арбитражную прибыль?
В) До какого уровня брокер Н должен был бы повысить свою цену, чтобы на рынке исчезла возможность арбитража?

Если брокер повысит цену на свой портфель с 60 до 75, то таблица, представленная в задаче 23, при изменении условий в соотвествии с формулировкой задачи 24, примет вид:

Инструемнт
Брокер Д А Цена за портфель
К 3 1 80
Н 2 2 75
М 5 7 185

Решение задачи зависит от того, что понимается под торговлей инструментами. Считаем, все брокеры и покупают, и продаю портфели по указанным ценам, беря небольшие комиссионные за сделку, которые в этой задаче не учитываем.
Суммарная стоимость портфелей брокеров К и М равна 80+185 = 265. Объединение этих портфелей составляет 3+5=8 акций Д и 1+7=8 акций А, т.е. это -4 портфеля Н, которые стоят в свою очередь 4*75=300.
Для арбитража инвестор должен купить портфель акций у брокера К, портфель акций у брокера М, объединить эти портфели и продать их брокеру Н.
Максимальная прибыль подобной разовой сделки равна 300-265 = 35.
Для того чтобы на рынке исчезла возможность арбитража, брокер Н должен повысить цену на свой портфель с 60 до 66,25 (265/4=66,25).

Список литературы

1. Конституция Российской Федерации. Принята на всенародном референдуме 12 декабря 1993 г. М., 2003.
2. Гражданский кодекс Российской Федерации части первая и вторая М., 2003.
3. Налоговый Кодекс РФ. М., Норма, 2004.
4. ФЗ «Об инвестиционной деятельности в Российской Федерации, осуществляемой в форме капитальных вложений» от 15 июля 1998 года // Собрание законодательства Российской Федерации, 1998, N 36.
5. Берл Густав и др. Мгновенный бизнес-план. Двадцать быстрых шагов к успеху / Пер. с англ.- М.: Дело ЛТД, 2001.
6. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проект. - М.: Банки и биржи. ЮНИТИ. 2003.
7. Бочаров В. В. Инвестиционный менеджмент. — СПб: Питер, 2000.
8. Витин А.С. Мобилизация финансовых ресурсов для инвестиций. // Вопросы Экономики. №4. 2003.
9. Байбаков А. Акции с большого рынка. // Коммерсант-Деньги. 2003. №4
10. Биржевая деятельность /Под ред. А.Г.Грязновой, Р.В.Корнеевой, В.А.Галанова-М.: Финансы и статистика,1995
11. Валдайцев С.В. Оценка бизнеса и инноваций. — М.: Филинъ, 2003.
12. Гатман Л.Дж., Джонк М.Д. Основы инвестирования. Пер. с англ. – М: Дело 1999
13. Дробышевский С.Н. Обзор современной теории временной структуры процентных ставок. Основные гипотезы и модели. М., 1999.
14. Евстигнеев В.Р. Портфельные инвестиции в России: выбор стратегии. – М.: Эдиториал УРСС, 2002
15. Климов А., Климкина Т. Методик много разных, но верная всегда одна. М., 2004
16. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. – М.: Финансы и статистика, 2001 –768 стр.
17. Ковалев В.В. Финансовый анализ. – М.: Финансы и статистика, 2001.
18. Кузнецов М.В., Овчинников А.С. Технический анализ рынка ценных бумаг. – М.: ИНФРА-М, 1996
19. Райан Б. Стратегический учет для руководителя. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 2004.
20. Рынок ценных бумаг: Учебник / Под ред. В.А. Галанова, А.И.Басова – 2-е издание, перераб.и доп.-М.: Финансы и статистика, 2001
21. Смоляк С.А. Учет риска при установлении нормы дисконта // Экономика и математические методы, т.28, вып.5-6, 2002.
22. Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник / По дред. Е.С. Стояновой. – 5-е издание, перераб. и доп. – М.: Перспектива, 2001
23. Финансовый менеджмент. /Под ред. проф. Е.И.Шохина. – М: ИД ФБК-ПРЕСС, 2002
24. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли В.Дж. Инвестиции. - М.: Инфра-М, 2004.


Скачиваний: 2
Просмотров: 8
Скачать реферат Заказать реферат