Экстремумы функций многих переменных

Понятие экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации


Иркутский Государственный Технический Университет



 


 


 


Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ



 


 


 


Реферат


На тему: “Экстремумы функций многих переменных”



 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


Выполнил:


Студент группы ТЭ-97-1


Мартынов Ф.О.


Проверила:


Преподаватель кафедры


Седых Е.И.



 


 


 


 


Иркутск 1998


План реферата:



1. Понятие экстремума........................... 2


2. Необходимые условия экстремума.. 3


3. Достаточные условия экстремума... 6


4. Локальные экстремумы.................... 8


5. Условные экстремумы...................... 9



 


 


Экстремумы функций многих переменных.

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:


Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными Экстремумы функций многих переменных


Определение: Точка Экстремумы функций многих переменных называется точкой экстремума (максимума или минимума)


функции Экстремумы функций многих переменных, если Экстремумы функций многих переменных есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции Экстремумы функций многих переменных в некоторой окрестности точки Экстремумы функций многих переменных.


При этом значение Экстремумы функций многих переменных называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных экстремум (или достигает в точке Экстремумы функций многих переменных экстремума).


Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Экстремумы функций многих переменных


Теперь установим необходимые условия, при которых функция Экстремумы функций многих переменных достигает в точке Экстремумы функций многих переменных экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.


Необходимый признак экстремума: Если в точке Экстремумы функций многих переменных дифференцируемая функция Экстремумы функций многих переменных имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны


нулю:


Экстремумы функций многих переменных, Экстремумы функций многих переменных.


Доказательство: Допустим, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных экстремум.


Согласно определению экстремума функция Экстремумы функций многих переменных при постоянном Экстремумы функций многих переменных, как функция одного Экстремумы функций многих переменных достигает экстремума при Экстремумы функций многих переменных. Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции Экстремумы функций многих переменных при Экстремумы функций многих переменных,


т. е.


Экстремумы функций многих переменных.


Аналогично функция Экстремумы функций многих переменных при постоянном Экстремумы функций многих переменных, как функция одного Экстремумы функций многих переменных, достигает экстремума при Экстремумы функций многих переменных. Значит,



Экстремумы функций многих переменных



Что и требовалось доказать.


Точка Экстремумы функций многих переменных, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции Экстремумы функций многих переменных, называется стационарной точкой функцииЭкстремумы функций многих переменных.


Уравнение касательной плоскости к поверхности Экстремумы функций многих переменных:


Экстремумы функций многих переменных


для стационарной точки Экстремумы функций многих переменных принимает вид Экстремумы функций многих переменных.


Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией Экстремумы функций многих переменныхэкстремума в точке Экстремумы функций многих переменных геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.


Для отыскания стационарных точек функции Экстремумы функций многих переменных нужно приравнять нулю обе ее частные производные


Экстремумы функций многих переменных, Экстремумы функций многих переменных. (*)


и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.



Пример 1: Найдем стационарные точки функции


Экстремумы функций многих переменных


Система уравнений (*) имеет вид:


Экстремумы функций многих переменныхЭкстремумы функций многих переменных


Из второго уравнения следует, что или Экстремумы функций многих переменных, или Экстремумы функций многих переменных.


Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:


Экстремумы функций многих переменных


Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.


Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.


Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).


Так, например, функция Экстремумы функций многих переменных имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Экстремумы функций многих переменных.


Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.


Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.


Экстремумы функций многих переменных


и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:


Экстремумы функций многих переменных


Экстремумы функций многих переменных


Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.



Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию Экстремумы функций многих переменных Ее частные производные Экстремумы функций многих переменных равны нулю в начале координат,


однако функция экстремума не достигает. В самом деле, функция Экстремумы функций многих переменных, будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции.


Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.


Пусть точка Экстремумы функций многих переменных является стационарной точкой функции Экстремумы функций многих переменных, т. е. Экстремумы функций многих переменных


Вычислим в точке Экстремумы функций многих переменных значение вторых частных производных функции Экстремумы функций многих переменных и обозначим их для краткости буквами A, B и C:


Экстремумы функций многих переменных


Если Экстремумы функций многих переменных, то функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных экстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (Из условия Экстремумы функций многих переменных следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).


ЕслиЭкстремумы функций многих переменных, то точка Экстремумы функций многих переменных не является точкой экстремума.


ЕслиЭкстремумы функций многих переменных, то неясно, является ли точка Экстремумы функций многих переменных точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.

Пример:


1) Ранее в примере было установлено, что функция


Экстремумы функций многих переменных


имеет четыре стационарные точки:


Экстремумы функций многих переменных


Вторые частные производные данной функции равны


Экстремумы функций многих переменных


В точке Экстремумы функций многих переменныхимеем: A=10, B=0, C=2. Здесь Экстремумы функций многих переменных; значит, точка Экстремумы функций многих переменных является точкой экстремума, и так как A и C положительны, то этот экстремум - минимум.


В точке Экстремумы функций многих переменных соответственно будет A=-10, B=0, C=-4/3; .


Это точка максимума. Точки Экстремумы функций многих переменныхи Экстремумы функций многих переменных не являются экстремумами функции (т.к. в нихЭкстремумы функций многих переменных).


2) Найдем точки экстремума функции Экстремумы функций многих переменных;


Приравнивая частные производные нулю:


Экстремумы функций многих переменных, Экстремумы функций многих переменных


находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Cледовательно, Экстремумы функций многих переменных и точка (0, 0)


не является точкой экстремума. Уравнение Экстремумы функций многих переменныхесть уравнение гиперболического параболоида (см. Рис. 2.) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.

 


Экстремумы функций многих переменных


Локальные Экстремумы


Определение1: Говорят, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных локальный максимум, если существует такая окрестность точки Экстремумы функций многих переменных, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: Экстремумы функций многих переменных. При этом, Экстремумы функций многих переменных т. е. приращение функции < 0.

Определение2: Говорят, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных локальный минимум, если существует такая окрестность точки Экстремумы функций многих переменных, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: Экстремумы функций многих переменных. При этом, Экстремумы функций многих переменных т. е. приращение функции > 0.

Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.

Условные Экстремумы


При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.


Пусть заданы функция Экстремумы функций многих переменных и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции Экстремумы функций многих переменныхявляется наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции Экстремумы функций многих переменных на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.


Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции


Экстремумы функций многих переменных является верхняя полусфера (Рис 3).

 


 


 


 


 


Экстремумы функций многих переменных


Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке Экстремумы функций многих переменных, лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции Экстремумы функций многих переменных на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.


Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.


Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением j
(x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=j
(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, j
(x)) = Ф(х).


Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.


Экстремумы функций многих переменных Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда


Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.


Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.


Экстремумы функций многих переменных Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная j
(x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:


Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными



Экстремумы функций многих переменныхЭкстремумы функций многих переменныхПреобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную l
:


(знак минус перед l
поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:


f`x=(x,y)+l
j
`x(x,y)=0, f`y(x,y)+l
j
`y(x,y)=0 (*),


которая вместе с уравнением связи j
(x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и l
.


Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции


Z= f(x, y) при уравнении связи j
(x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию


Ф(х,у)=f(x,y)+l
j
(x,y)


Где l
-некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.


Указаная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.


Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл, который я сейчас поясню.


Предположим, что на рис 4. Изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.

 


Экстремумы функций многих переменных


Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y) принимает большие значения, а по другую - меньшие. Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой


условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи j
(x, y) = 0 имеем


y`=-j
`x/j
`y, а из уравнения линии уровня y`=-fx`/fy`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение

Экстремумы функций многих переменных Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках fx`=0, fy`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x2 и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.


Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: j
1(x, y, z) = 0 и j
2(x, y, z) = 0


Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.


Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию


Экстремумы функций многих переменныхЭкстремумы функций многих переменныхФ(x, y, z) = f(x, y, z)+l
1j
1(x, y, z) +l
2j
2(x, y, z), где l
1 и l
2- новые дополнительные неизвестные, и состовляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции.


Экстремумы функций многих переменных Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, l
1, l
2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы.

Список использованной литературы:


А.Ф. Бермант, И.Г. Абрамович. Краткий курс математического анализа.

Шипачев Учебник высшей математики

 


 


 


Скачиваний: 1
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат