Экономико-математическое моделирование

Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Задание 1. Максимизация прибыли универмага

Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа —костюмы широкого потребления (из полиэстровых смесей, шерстяные, хлопковые). Четвертый тип — дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объем затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице:
Тип костюма Прибыль, дол. Время, час Реклама, у.е. Площадь, м2
Полиэстер 35 0,4 2 1,00
Шерсть 47 0,5 4 1,50
Хлопок 30 0,3 3 1,25
Эластик 90 1,0 9 3,00

Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100×60 м2. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15 000 у.е.
1. Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?
2. Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?
При ответе на следующие вопросы сохраните ограничение (2).
3. Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстрового костюма переоценена (недооценена) на 1 у.е.? На 2 у.е.?
4. Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:
 отдать в распоряжение отдела костюмов 400 м2 от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь 750 у.е. за последующие 90 дней;
 истратить дополнительно 400 у.е. на рекламу.
5. Если общее число закупленных костюмов не может превысить 5000 шт., то как такое ограничение повлияет на оптимальное решение?
Решение

тип костюма прибыль,$ время,ч реклама,$ площадь,кв.фут
полиестер 35 0.4 2 1.00
шерсть 47 0.5 4 1.50
хлопок 30 0.3 3 1.25
импорт 90 1.0 9 3.00
Параметры задачи приведены в постановке задачи.
Ограничения:
1. время = 2х10х90 = 1800
2. реклама = 15000
3. площадь = 100х60 = 6000
а) Для решения задачи можно использовать следующую модель.
Все ресурсы из объекта типа "Приобретение" с именем "Ресурсы" поступают в объект типа "Производство" с именем "Продажи". В Продажах костюмы продаются с затратами ресурсов. Факт продажи костюмов передается в объект типа Сбыт, где учитывается прибыль от продажи.
Вставим в модель объекты Ресурсы, Продажи, Сбыт. Проведем связи-потоки из Ресурсов в Продажи, из Продаж в Сбыт.
В Ресурсы, в таблицу закупок, введем виды ресурсов: время, рекламу и площадь, в Мах кол-во которых зададим ограничения задачи.
В Продажи, в таблицу процессов, добавим по процессу на продажу каждого типа костюмов: полиестер, шерсть, хлопок, импорт. Во входящих материалах для каждого процесса добавим те же материалы, что в Ресурсах: время, рекламу и площадь (потребление берется из таблицы параметров). В исходящих материалах введем для каждого из процессов по одному виду продукта, название которого совпадает с названием процесса.
В Сбыт, в таблицу продаж, введем 4 записи, с теми же названиями, что продукты в Продажах. Цену для продуктов возьмем из таблицы параметров.
Таким образом, все параметры задачи введены. Решим модель. Получим прибыль= 171500.00 при полиестер = 500, шерсть = 2000, хлопок = 2000, импорт = 0.
б) Во втором условии неявно подразумевается, что закупленные костюмы, в частности импорт, таки будут проданы. Если исходить из этого, то для для выяснения, как повлияет закупка по 200 костюмов каждого вида, добавим в Сбыт в таблицу продаж для каждого продукта Min кол-во = 200. Решим модель. Прибыль = 170333.3333. Если добавить требование целочисленного решения (в Продажах в таблице процессов для каждого процесса указать ед./блок = 1, Мах(ед) = 3000), получим прибыль = 170330.00 при полиестер = 733, шерсть = 1335, хлопок = 2131, импорт = 200. Целочисленное решение приведено в модели MO3P4B.
Непрерывное решение с ограничением в 200 костюмов каждого вида приведено в модели MO3P4С, которая и используется при ответе на остальные вопросы.
в)
Сравнение решений приведено в таблице
продукт решение изменилось
полиестр=33 да
полиестр=34 да
полиестр=35 -
полиестр=36 нет
полиестр=37 да
шерсть=45 да
шерсть=46 нет
шерсть=47 -
шерсть=48 да
шерсть=49 да
хлопок=28 да
хлопок=29 да
хлопок=30 -
хлопок=31 нет
хлопок=32 нет
импорт=88 нет
импорт=89 нет
импорт=90 нет
импорт=91 нет
импорт=92 нет
1. Цена предлагаемой площади = 750/400 = 1.875 < 2. Тут 2 - чувствительность площади. Поэтому, определенные дополнительные затраты на площадь должны увеличить прибыль. Добавим в Проверку материал "площадь" с ценой 1. Решим модель. Прибыль увеличилась. Дополнительной площади использовано 283.3333. Это меньше 400. Т.е. 400 площади добавлять невыгодно. Поставим для площади Min кол-во = 400, решим модель. Получим прибыль выше, чем без дополнительной площади, но ниже, чем при дополнительной площади 283.3333. 2. Чувствительность рекламы = 1.8333, больше 1 (стоимость рекламы), поэтому определенные дополнительные затраты на рекламу должны увеличить прибыль. Добавим в Проверку материал "реклама" с ценой 1. Решим модель. Прибыль увеличилась. Дополнительной рекламы использовано 457.1429, т.е. до такого количества выгодно вкладываться в дополнительную рекламу. Это больше 400. 3. Чувствительность времени = 73.4375. Цена дополнительного времени = 3600/260 = 13.8462, ниже, поэтому определенные дополнительные затраты на время должны увеличить прибыль. Добавим в Проверку материал "время" с ценой 13.8462. Решим модель. Прибыль увеличилась. Использовано дополнительного времени = 500, больше 260. д) Оптимальное решение показывает общее число проданных костюмов = 4400, что меньше 5000. Поэтому дополнительное ограничение общего числа закупленных костюмов <= 5000 не повлияет на решение и на прибыль. Условие и так выполняется. Чтобы рассмотреть несколько разных ограничений на общее количество (модель MO3P4D), добавим объект типа "Ресурсы". В таблицу ресурсов добавим ресурс "костюмы" с Max кол-во = 5000. Проведем связь из Ресурсов в Сбыт. В Сбыте в таблице потребления ресурсов добавим 4 записи, и для каждого из продуктов-материалов укажем потребления ресурса костюмы (потребление = 1). Решим модель. Ничего не изменится. Если потребовать продать 5000 костюмов, т.е. в Ресурсах в таблице ресурсов для костюмов задать Min кол-во=5000, задача станет неразрешимой. Задача 2.4. Распределение аудиторов по фирмам Менеджер-координатор аудиторской фирмы должен распределить аудиторов для работы на следующий месяц. Есть заявки от 10 клиентов на 75 аудиторов. В четырех конторах фирмы 90 аудиторов, 15 аудиторов можно отправить на плановую учебу. Аудиторы различаются по квалификации и опыту работы. Прежде чем приступить к аудиту конкретной фирмы, они должны затратить определенное время на подготовку и консультации. Менеджер-координатор, учитывая опыт работы аудиторов каждой конторы, оценил время, необходимое в среднем аудитору каждой конторы для подготовки к аудиту конкретного клиента. Результаты приведены в таблице. Знаки вопроса в клетках таблицы означают, что аудиторы из этой конторы не имеют опыта аудита в отрасли, которой занимается данный клиент, и их нельзя к нему посылать. Распределить аудиторов так, чтобы суммарные временные затраты на подготовку были минимальны. Конторы Клиенты Ресурсы К1 К2 К3 К4 К5 К6 К7 К8 К9 К10 А1. ГААПвилл 8 21 15 13 9 17 18 7 26 9 35 А2. Финанстаун 14 18 17 19 12 6 0 15 24 13 20 А3. ИСАбург 9 15 18 16 16 15 11 13 21 19 25 А4. Нью-Баланс 11 ? 14 7 23 9 6 18 ? 7 10 Заявки 4 9 2 12 7 6 9 3 18 5 — В реальной практике обычно требуют, чтобы аудиторы не все были из одной конторы. Попробуйте выполнить это условие и не слишком ухудшить решение. Решение Параметры задачи приведены в таблице в постановке задачи. Мы добавили перед названием конторы ее условное обозначение (А1,...,А4), которое будем использовать в дальнейшем. Для решения задачи можно использовать следующую модель. Ресурсы аудиторской фирмы (тип "Приобретение") поступают в Распределение (тип "Производство"), где происходит распределение аудиторов по клиентам. Распределение передается в Заказ (тип "Сбыт"). Экономико – математическая модель задачи: Сначала создаём формы для решения задачи. Этот шаг предполагает создание матрицы. Для этого необходимо выполнить резервирование изменяемых ячеек, поэтому в блок ячеек В3:К6 вводятся «1» - так резервируется место, где после решения задачи будет находиться распределение поставок, обеспечивающих минимальные затраты на перевозку груза. Для ввода зависимостей из математической модели необходимо выполнить следующие действия. Выбрать Сервис, Поиск решения. Поместить курсор в Установить целевую (ячейку), ввести адрес $B$15 (тем самым мы резервируем ячейку, куда после решения задачи помещается значение целевой функции). Установить направление изменения целевой функции, равное Минимальному значению. Ввести адреса изменяемых ячеек В3+К6. Для этого необходимо выбрать Изменяя ячейки ввести адреса $B$3:$K$6. В матрицу перевозок, содержащую исходные данные по задаче, необходимо ввести условие реализации мощностей всех поставщиков. Для этого необходимо выбрать Добавить ограничения, в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $A$3:$A$6, в среднем поле установить знак « », так как задача является открытой. В поле ограничения установить адреса $A$10:$A$13, для подтверждения введенного условия нажать кнопку ОК. Далее вводится ограничение, которое реализует условие удовлетворения мощностей всех потребителей. Для этого необходимо выбрать Добавить ограничения, в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $B$7:$K$7. В поле знака выбрать при помощи спинера знак «=», в поле Ограничение установить адреса $B$9:$K$9, нажать кнопку ОК. После этого надо вернуться в поле Поиск решения . После ввода всех ограничений ввести ОК. На экране появится окно Поиск решения с введенными ограничениями. Рис.7. Ввод зависимостей из математической модели. С помощью окна Параметры можно вводить условия для решения оптимизационных задач. В нашей задаче следует установить флажок Неотрицательные значения и флажок Линейная модель, нажать кнопку ОК, после этого произойдёт переход в поле Поиск решения, нажать кнопку Выполнить. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения. В результате нами был получен оптимальный план перевозок. В Распределении используется по одному процессу на каждое возможное распределение, т.е. создается процесс для каждой пары (контора, клиент). Название процесса образуется соединением обозначения конторы и обозначения клиента, например, А2К5 для пары контора = А2, клиент = К5. Для учебы добавляются процессы вида А1У, А2У,... Это может показаться неудобным и громоздким, но данные по каждой паре все равно куда-то должны вводиться. Если построить модель с меньшим количеством процессов, в ней все равно где-то будет список со всеми парами и соответствующими им данными. Поэтому, эта громоздкость - только кажущаяся, неизбежная. Для каждого процесса задается его цена - издержки из параметров задачи. При реальной практической работе с полнофункциональной версией GEM все данные извлекались бы из внешней базы данных, а имена процессов создавались бы автоматически. В данном примере мы делаем это вручную. Для пар, для которых в таблице стоит вопросительный знак, можно было бы не создавать процесс. Но в дальнейшем ситуация может измениться, вместо вопросительного знака появится число. Чтобы не менять модель, процесс создается, но его цена делается очень высокой, настолько, что процесс не может войти в решение. Для дополнительной уверенности для этого процесса можно задать Мах(ед) = 0. Вставим в модель объект типа "Приобретение" с именем "Ресурсы", объект типа "Производство" с именем "Распределение", объект типа "Сбыт" с именем "Заказ". Проведем связи-потоки из Ресурсов в Распределение и из Распределения в Заказ. В Ресурсах, в таблице закупок, введем материалы - конторы А1,...,А4. Зададим для них Мах кол-во из параметров задачи. В Заказ, в таблицу продаж, введем 11 продуктов: клиентов К1,...,К10 и Учебу. Зададим для них Min кол-во = Мах кол-во = заказу из параметров задачи. В Распределение, в процессах, добавим 44 процесса-пары: АiKj и АiУ, где i=1,...,4, j=1,...,10. Во входящих материалах для каждого из процессов-пар введем материал - начало пары, потребление = 1. В исходящих материалах для каждого процесса введем продукт - конец пары (Для АiУ - Учеба), выход = 1. Решим модель. Общие затраты = 842. Зададим условие, что к любому клиенту должны идти аудиторы не менее, чем из двух контор. В Распределение, в исходящие материалы, для каждого процесса добавим один продукт-флаг с тем же именем, что и процесс, с выходом = 1. Этот флаг предназначен, чтобы учитывать процессы распределения. Нам надо, чтобы флаг принимал значение = 1, если процесс выполнялся, и = 0, если не выполнялся. Чтобы это обеспечить, добавим объект типа "Хранение" с именем "Управление" и объект типа "Производство" с именем "Счет". Направим связи из Распределения в Управление и из Управления в Счет. В Управлении, в хранимых материалах, введем 44 материала-флага, для каждого флага зададим Мах запас = 0. Чтобы избавиться от лишних запасов флагов, используем Счет: в процессы введем 44 процесса, по одному на флаг, с тем же именем, что флаг. Для каждого процесса зададим один входной материал - одноименный флаг, с расходом = 1. Т.о., если в Управление поступит какой-либо флаг в количестве > 1, излишки флага будут переданы в Счет, и там уничтожены (одноименным процессом). Мы добились того, что для каждого выполнявшегося процесса будет выставлен в Управлении одноименный флаг в количестве = 1. В выставлении каждого флага участвует одна контора, поставившая входной материал в процесс (начало названия процесса) и один клиент, принявший продукт из процесса (конец названия процесса). Т.о., эти флаги образуют 4 группы по 11 - по числу контор, которые выставляют флаги, и 11 групп по 4 - по числу клиентов, которые эти флаги выставляют. Нам надо, чтобы в каждой из 11 клиентских групп было не менее двух единичных флага. Чтобы это обеспечить, добавим объект типа "Ресурсы" с именем "Учет", направим из него связь в Управление. В Учет, в таблицу ресурсов, введем 11 ресурсов с названиями клиентов. в Управление, в потребление ресурсов остатками, введем все 44 флага, для каждого флага укажем потребление = 1 того ресурса-клиента, который выставляет флаг (конец имени флага). Теперь из Учета потребляется столько каждого ресурса, сколько флагов выставлено в клиентской группе, т.е. столко, сколько контор направило аудиторов этому клиенту. Зададим в Учете, в таблице ресурсов, Min кол-во = 2 для каждого ресурса-клиента. Этим мы обеспечим, что к каждому клиенту попадут аудиторы не менее, чем из двух контор.
Решим модель. Получим временные затраты = 884 (Чистая прибыль = -884). Для удобства просмотра, какая контора какому клиенту скольких аудиторов направила, в модель добавлена панель данных, с которой пользователю предлагается познакомиться самостоятельно.


Скачиваний: 3
Просмотров: 5
Скачать реферат Заказать реферат