Экономико-математические методы и модели

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Контрольная работа №1

Задача 1.
Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч., а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч.
Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250
деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует
2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства
одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового
металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю.
Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему
постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в
соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели
деталей должно составлять не менее 1500 штук.
Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы
максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной
детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y -
40 ден. ед.?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
РЕШЕНИЕ.
Запишем условие задачи в виде таблицы:
Продукция
Ресурсы Норма расходов сырья Объемы запасов сырья
Х Y
Металлические стержни 2 5 10000
Листовой металл 5 2 10000
Фонд рабочего времени 1 2 4000
Производственные мощности ≤2250 ≤1750
Постоянному заказчику 600
По соглашению 1 1 ≥1500
Доход от одной детали 30 40
Пусть х1 – количество деталей вида Х, а х2 – количество деталей вида Y, тогда по условию Z = 30x1 + 40x2 → max (доход от произведенных деталей)
2х1+ 5х2 ≤10000 – ограничение по металлическим стержням;
5х1+ 2х2 ≤10000 – ограничение по листовому металлу;
х1+ 2х2 ≤4000 – ограничение по фонду рабочего времени;
х1+ х2 ≥1500 – ограничение по профсоюзному соглашению;
600≤x1≤2250 – ограничение по договоренности и производственным мощностям;
0≤x2≤1750 – ограничение по производственным мощностям.
Получаем следующую экономико-математическую модель задачи: найти максимальное значение линейной функции
Z = 30x1 + 40x2 при ограничениях:
2х1+ 5х2 ≤10000;
5х1+ 2х2 ≤10000;
х1+ 2х2 ≤4000;
х1+ х2 ≥1500;
600≤x1≤2250;
0≤x2≤1750.
Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х1Ох2 на плос-кости изобразим граничные прямые
2х1 + 5х2 = 10000 (L1);
5х1 + 2x2 = 10000 (L2);
х1 + 2х2 = 4000 (L3);
х1 + x2 = 1500 (L4);
х1 = 600 (L5);
х1 = 2250 (L6);
х2 = 1750 (L7) и установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно граничной прямой.

х1 х2
L1 0 2000
2500 1000

L2
1000 2500

2000 0

L3 0 2000

2500 750

L4 0 1500
1500 0

L5 600 0

600 2500

L6 2250 0
2250 2500

L7 0 1750
2500 1750

m 0 0
-300 400

N 0 0
1500 2000

В результате имеем многоугольник АВ СDЕ.
Построим вектор N = (1500; 2000) и прямую 30х1 + 40х2 = 0 (m). Перемещаем прямую m параллельно самой себе в направлении вектора N. Из рис. следует, что она покинет многогранник решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точке В; если прямую переме¬стить назад в направлении, противоположном направлению вектора N, то значения линейной функции на многограннике решений уменьшатся, значит, в точке В линейная функция принимает максимальное значение.
Точка В лежит на пересечении прямых L2 и L3; для определения ее координат решим систему уравнений:
5х1 + 2х2 = 10000
х1 + 2x2 = 4000 . Имеем: х1 = 1500; х2 = 1250.
Подставляя найденные значения в линейную функцию, получаем Zmax = 30*1500+40*1250 =95000 .
Для того, чтобы обеспечить максимальный доход от произведенных деталей (95000 ден.ед. в неделю), необходимо выпускать 1500 деталей вида Х и 1250 деталей вида Y.

Если решить эту задачу на минимум, то получим, что необходимо выпускать 1500 деталей типа Х, а детали типа Y не выпускать (точка Е на рис.) и минимальный доход тогда составит 45000 ден. ед.

Задача 2.7
Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип оборудования Нормы расхода ресурса на одно изделие Фонд раб. времени, ч.

А Б В Г

Токарное Фрезерное Шлифовальное 2
1
1 1
0
2 1
2
1 3
1
0 300
70
340
Цена изделия 8 3 2 1
Требуется:
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;
- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 11 ед., если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 ед. соответственно.

РЕШЕНИЕ
1. Обозначим через хj = 1,2,3,4 – количество выпускаемой продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции».
Max(8x1+3x2+2x3+х4) 2x1+ x2+ x3+х4  300,
x1+ 2x3+х4  70,
x1+ 2x2+ х3  340
xj  0

Решение проведем в среде EXCEL, получим результат:

х1 х2 х3 х4
значение 70 135 0 0 ЦФ
коэф. ЦФ 8 3 2 1 965
токарное 2 1 1 3 275 300
фрезерное 1 0 2 1 70 70
шлифовальное 1 2 1 0 340 340

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом: Х` =(70, 135, 0, 0) 2*70+ 135 + 0 + 0 = 275<300 1*70 + 0 + 0 = 70 (*) 70+ 2*135+0 = 340 Значение целевой функции на этом плане равно: f(X`) = 8*70+3*135+2*0+0 = 965. Чтобы предприятие имело максимальную выручку от реализации готовой продукции, необходимо выпускать изделия вида А – 70 ед. и изделия вида Б– 135 ед., а изделия вида В и Г не выпускать. 2. Двойственная задача имеет вид: Min(300y1+70y2+340y3) 2y1 + y2 + y3  8 y1 + 2у3  3 y1 + 2y2+ у3  2 3у1+ у2 ≥ 1 y1,2,3,4 0 Для нахождения оценок y1, y2, y3, у4 используем вторую теорему двойственности. Поскольку первое ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y1 =0, а т.к. х1>0 и х2>0, то 2у1+у2+у3=8 и y1+2y3 =3 т.е. для получения двойственных оценок имеем систему:
у1= 0 у1=0 у1=0
2y1+ у2+y3 = 8 3/2+y2 =8 y2=13/2
y1+ 2у3 =3 или 2y3=3 или y3=3/2

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи: (Y`) =300*0+70*13/2+ 340*3/2 = 455+510= 965, т.е. f(X`) = (Y`) = 965, по первой теореме двойственности можно утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

3. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Нулевое значение переменной у1 = 0 говорит о том, что фонд рабочего времени токарного оборудования является не дефицитным и его запасы не повлияют на оптимальный план выпуска продукции
4. а) увеличение фонда рабочего времени токарного оборудования на 1 единицу не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость изделий (у1`= 0); увеличение фонда рабочего времени фрезерного оборудования приведет к росту максимальной стоимости на 6,5 ед. (y2` =13/2); увеличение фонда рабочего времени шлифовального оборудования на 1 ед. приведет к росту максимальной стоимости на 1,5 ед. (у3` =3/2).
б) двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, а какие совсем не дефицитны. В нашем случае недефицитным ресурсом является токарное оборудование, т.к. у1=0. Острее ощущается дефицитность фрезерного оборудования (у2=13/2) оно более дефицитно, чем шлифовальное (у3 = 3/2).
в) двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов», заменяемость с точки зрения конечного эффекта. В нашем случае относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 13:3.
г) Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 ч.:
 f(x)= 24*3/2 = 36, т.е. увеличение на 36 ед.
д) Определим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 ед., если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 ед.соответственно:
4 =0*8 + 13/2*2 + 3/2*2 - 11 = 5 >0 – невыгодное расширение ассортимента.

Задача 3.7
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi, вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы А=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Предприятия
(виды продукции) Коэффициенты прямых затрат, аij Конечный продукт, Y
1 2 3
1 0,1 0,2 0,4 100
2 0 0,4 0,1 200
3 0,1 0,3 0,4 100
РЕШЕНИЕ.
1) Проверим продуктивность матрицы А по второму признаку: положительность всех главных миноров матрицы (Е-А):
1 0 0 0,1 0,2 0,4 0,9 -0,2 -0,4
(Е – А) = 0 1 0 - 0 0,4 0,1 = 0 0,6 -0,1
0 0 1 0,1 0,3 0,4 -0,1 -0,3 0,6

D1 = 0,9 >0;
D2 = 0,9 -0,2 = 0,54 – 0 = 0,54 >0;
0 0,6

0,9 -0,2 -0,4
D3 = 0 0,6 -0,1 = 0,9*(0,36–0,03)+0,2*(0–0,01)–0,4(0+0,06)=0,297–0,002-0,024 = 0,271>0.
-0,1 -0,3 0,6

Т.о, матрица А – продуктивная.

2) Модель баланса производства и распределения продукции отрасли представим системой уравнений:
Х1= 0,1х1 + 0,2х2 + 0,4х3 +100 0,9х1 - 0,2х2 – 0,4х3 =100
Х2= 0х1 + 0,4х2 + 0,1х3 +200 0х1 + 0,6х2 - 0,1х3 =200
Х3= 0,1х1 + 0,3х2 + 0,4х3 +100 или - 0,1х1 – 0,3х2 +0,6х3 =100
Решим ее по методу обратной матрицы:
0,9 -0,2 -0,4
(Е – А) = 0 0,6 -0,1 |Е – А| = 0,271 >0.
-0,1 -0,3 0,6
Транспонируем матрицу (Е – А): 0,9 0 -0,1
(E – A)` = -0,2 0,6 -0,3
-0,4 - 0,1 0,6
Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е – А)`:
А11 = +(0,36 – 0,03)=0,33; А12 = - (-0,12 –0,12)= 0,24; А13 = +(0,02 + 0,24)=0,26;
А21 = - (0 – 0,01)=0,01; А22 = +(0,54 – 0,04)=0,50; А23 = -(-0,09 – 0)=0,09;
А31 = +(0 + 0,06)=0,06; А32 = -(0,027 – 0,02)=0,29; А33 = +(0,54 – 0)=0,54.
Т.о, присоединенная к матрице (Е – А) матрица имеет вид:

___ 0,33 0,24 0,26
(Е – А) = 0,01 0,50 0,09
0,06 0,29 0,54

____ 0,33 0,24 0,26
В=(Е – А)-1 = (Е – А) /|Е – А| = 1/0,271 * 0,01 0,50 0,09
0,06 0,29 0,54

0,33 0,24 0,26 100 33+48+26 394,834
Х = В*Y = 1/0,271 * 0,01 0,50 0,09 * 200 = 1/0,271* 1+100+9 = 405,904
0,06 0,29 0,54 100 6+58+54 435,424

Определим элементы первого квадранта материального межотраслевого баланса по формулам: хij = aij*Xj:
X11 =0,1*394,834=39,483; х12 =0,2*405,904= 81,181; х13=0,4*435,424 =174,170;
X21 = 0*394,834=0; х22 =0,4*405,904= 162,362; х23=0,1*435,424 =43,542;
X31 =0,1*394,834=39,483; х32 =0,3*405,904= 121,771; х33=0,4*435,424 =174,170.

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции.
Табл.1
Производящие структуры Потребляющие структуры Конечный продукт Валовой продукт
1 2 3
1
2
3 39,483
0
39,483 81,181
162,362
121,771 174,170
43,542
174,170 100
200
100 394,834
405,904
435,424
Условно чистая продукция 315,868 40,590 43,542 400
Валовой продукт 394,834 405,904 435,424 1236,162

Вычисления в среде EXCEL
0,1 0,2 0,4
A 0 0,4 0,1
0,1 0,3 0,4

0,9 -0,2 -0,4
E-A 0 0,6 -0,1
-0,1 -0,3 0,6
1)
1,217712 0,885609 0,95941 100
B 0,0369 1,845018 0,332103 Y 200
0,221402 1,070111 1,99262 100

2)
394,8339
X 405,9041
435,4244

3)
39,48339 81,18081 174,1697
X 0 162,3616 43,54244
39,48339 121,7712 174,1697

Задача 4.7
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y(t) 20 27 30 41 45 51 51 55 61
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель Ŷ(t) = , параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза считать при доверительной вероятности р = 70%).
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ.
1) Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы: , где среднеквадратическое отклонение у рассчитывается с использованием формул:
Таблица 4.1 t Y |yt-yt-1| yt-yср (yt-yср)2 λ λтабл
1 20 -22,3333 498,7778
2 27 7 -15,3333 235,1111 1,506742 >1,5
3 30 3 -12,3333 152,1111 0,645746 1,5
4 41 11 -1,33333 1,777778 2,367737 >1,5
5 45 4 2,666667 7,111111 0,860995 1,5
6 51 6 8,666667 75,11111 1,291493 1,5
7 51 0 8,666667 75,11111 0 1,5
8 55 4 12,66667 160,4444 0,860995 1,5
9 61 6 18,66667 348,4444 1,291493 1,5
Сумма 45 381 1554
Ср.знач 5 42,33333 172,6667
21,58333
 4,645787
Вывод: видим, что значения у2 и у4 являются аномальными, т.к. все, кроме них, вычисленные значения λ меньше критического значения критерия Ирвина: n=10, для уровня значимости 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, λтабл=1,5.

Аномальные значения необходимо исключить из временного ряда, заменив их расчетными значениями – в качестве новых значений примем среднее из двух соседних значений.

2) Результаты регрессионного анализа для исправленного временного ряда

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y(t) 20 25 30 37,5 45 51 51 55 61
представим в таблицах 4.2 и 4.3
Таблица 4.2 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Y-пересечение 15,93056 1,759302 9,055042
t 5,158333 0,312636 16,49947

ВЫВОД ОСТАТКА Таблица 4.3

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 21,08889 -1,08889
2 26,24722 -1,24722
3 31,40556 -1,40556
4 36,56389 0,936111
5 41,72222 3,277778
6 46,88056 4,119444
7 52,03889 -1,03889
8 57,19722 -2,19722
9 62,35556 -1,35556
сумма 375,5 0,0

Во втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии и , в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости уt (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид: Y(t) = 15,9 + 5,2t.
При вычислении «вручную» получаем те же результаты.

2.2 Оценка параметров модели «вручную».
Промежуточные расчеты параметров линейной модели приведем в таблице 4.3
2 t y t-tср (t-tср)2 y-yср (t-tср)(y-yср)
1 20 -4 16 -21,72 86,9
2 25 -3 9 -16,72 50,2
3 30 -2 4 -11,72 23,4
4 37,5 -1 1 -4,22 4,2
5 45 0 0 3,28 0,0
6 51 1 1 9,28 9,3
7 51 2 4 9,28 18,6
8 55 3 9 13,28 39,8
9 61 4 16 19,28 77,1
сумма 45 381 0 60 0 309,5
среднее 5 41,72222

41,722-5,15833*5 = 15,93033 ≈ 15,9.
3. Оценка качества построенной модели.
Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточно¬го ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распре¬деления.
• Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае = 0, (табл.4.3) поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется

• При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) опре¬деляется отсутствие в ряду остатков систематической состав¬ляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина—Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно
попадает в интервал от 0 до d1 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d1 = 1,08, d2 = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, отвергается и модель неадекватна.

Наблюдение Предсказанное Y Остатки εt-εt-1 (εt-εt-1)2 ε2
1 21,08889 -1,08889 1,185679
2 26,24722 -1,24722 -0,15833 0,025069 1,555563
3 31,40556 -1,40556 -0,15833 0,025069 1,975586
4 36,56389 0,936111 2,341667 5,483403 0,876304
5 41,72222 3,277778 2,341667 5,483403 10,74383
6 46,88056 4,119444 0,841667 0,708403 16,96982
7 52,03889 -1,03889 -5,15833 26,6084 1,07929
8 57,19722 -2,19722 -1,15833 1,341736 4,827785
9 62,35556 -1,35556 0,841667 0,708403 1,837531
сумма 375,5 0,0 -0,3 40,4 41,1

• Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек: в случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство: при N=9 в правой части неравенства имеем:
[2*(9-2)/3-2√(16*9-29)/90] = [2,7] = 2. Здесь р = 3; 3>2 – неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

• Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия: RS= [εmax – εmin]:Sε = [4,1+2,2]:2,27 = 2,8, (для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 – 3,7)), 2,8 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Вывод: модель статистически неадекватна (не выполняются одно условия из четырех).

5. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t = 1,12):
Yp(10) = = 15,9 + 5,2*10 = 67,9
Yp(11) = = 15,9 + 5,2*11 = 73,1

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п — 2 = 7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
, где ; m=1 – количество факторов в модели (для линейной модели m=1)

п + к U(k) Прогноз Формула Верхняя граница Нижняя граница
10
11 U(l) = 3,3 U(2) = 3,5 67,9
73,1 Прогноз + U(1) Прогноз - U (2) 71,2
76,6 64,6
69,6

Т.к. построенная модель неадекватна, то нельзя утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

5. Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.
Для этого следует преобразовать график подбора, который был получен с помощью инструмента Регрессия:

Результаты моделирования и прогнозирования.


Скачиваний: 3
Просмотров: 4
Скачать реферат Заказать реферат