Двойной интеграл в механике и геометрии

Примеры приложений двойных интегралов к задачам механики, вычислению объемов и площадей.

ВНИМАНИЕ! Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками (вместо pic), графиками, приложениями, списком литературы и т.д., необходимо скачать работу.

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.


Иркутский государственный технический университет.



Кафедра высшей математики.



 


 


Реферат.



 


Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии.



 


 


 


 


 


 


 


 


Выполнила: студентка


группы ТЭ-97-1


Мелкоступова С.С.



Проверил преподаватель


кафедры высшей математики


Седых Е.И.



 


 


 


 


 


 


 


 


Иркутск 1998.



 


 


 


 


 

Содержание.

1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.


2. Вычисление двойных интегралов.


a) примеры.


3.Приложения двойных интегралов к задачам механики.


а) масса плоской пластинки переменной плотности.


б) статические моменты и центр тяжести пластинки.


в) моменты инерции пластинки.


4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.


а) Объём.


б) Вычисление площади плоской области.


5.Вычисление площади поверхности.


а) Примеры.

 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.


Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой Двойной интеграл в механике и геометрии.


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис. 1


Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.


Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:

если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;
объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Пусть Двойной интеграл в механике и геометрииесть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию Двойной интеграл в механике и геометриинепрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. чтоДвойной интеграл в механике и геометрии всюду в области D.


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис. 2


Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на некоторое число n областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через Двойной интеграл в механике и геометрии а их площади - через Двойной интеграл в механике и геометрии. Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области Двойной интеграл в механике и геометрии произвольную точку Двойной интеграл в механике и геометрии и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной Двойной интеграл в механике и геометрии. В результате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен Двойной интеграл в механике и геометрии


Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при Двойной интеграл в механике и геометриимы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса—его большой оси. Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку).


В соответствии со сказанным мы принимаем искомый объем V равным пределу, к которому стремится Vn при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (при этомДвойной интеграл в механике и геометрии):


Двойной интеграл в механике и геометрии


К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме.


Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть Двойной интеграл в механике и геометрии- любая функция двух переменных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке Двойной интеграл в механике и геометрии и составим сумму


Двойной интеграл в механике и геометрии (*)


где Двойной интеграл в механике и геометрии - значение функции в точке Двойной интеграл в механике и геометрии; и Двойной интеграл в механике и геометрии, - площадь частичной области.


Сумма (*) называется n-й интегральной суммой для функции Двойной интеграл в механике и геометриив области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.


Определение. Двойным интегралом от функции Двойной интеграл в механике и геометрии по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.


Записывается это так:


Двойной интеграл в механике и геометрии


Читается: “двойной интеграл от Двойной интеграл в механике и геометрии на Двойной интеграл в механике и геометрии по области D”. Выражение Двойной интеграл в механике и геометрии, показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция Двойной интеграл в механике и геометрииназывается подынтегральной функцией, Двойной интеграл в механике и геометрии - элементом площади, область D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у называются переменными интегрирования.


Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью Двойной интеграл в механике и геометрии и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции Двойной интеграл в механике и геометрии, взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела:


Двойной интеграл в механике и геометрии.


Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема.


Теорема существования двойного интеграла.


Если функция Двойной интеграл в механике и геометриинепрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл Двойной интеграл в механике и геометрии, не зависит от способа разбиения области D на частичные областиДвойной интеграл в механике и геометрии и от выбора в них точек Pi.


Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например,


Двойной интеграл в механике и геометрии.


Далее мы убедимся а том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований.

 


 


2.Вычисление двойных интегралов.

 


При вычислении двойного интеграла Двойной интеграл в механике и геометрии элемент площади Двойной интеграл в механике и геометрии нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области Двойной интеграл в механике и геометрии будет равна произведению соответствующих Двойной интеграл в механике и геометрии и Двойной интеграл в механике и геометрии. Поэтому элемент площади Двойной интеграл в механике и геометрии мы запишем в виде Двойной интеграл в механике и геометрии т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем


Двойной интеграл в механике и геометрии. (*)


При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью Двойной интеграл в механике и геометрии. Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу


Двойной интеграл в механике и геометрии (**)


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис.3


где S(х) - площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а Двойной интеграл в механике и геометрии и Двойной интеграл в механике и геометрии- уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла


Двойной интеграл в механике и геометрии


Предположим сначала, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3


Область D заключим внутрь прямоугольника


Двойной интеграл в механике и геометрии


стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал [c, d] - ортогональной проекцией области D на ось Oy. На рис.5 область D показана в плоскости Оху.


Точками A и C граница разбивается на две линии: ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси Oy, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y:


Двойной интеграл в механике и геометрии (ABC),


Двойной интеграл в механике и геометрии (AEC).


Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так:


Двойной интеграл в механике и геометрии (BAE),


Двойной интеграл в механике и геометрии (BCE).


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис.5


Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=const, Двойной интеграл в механике и геометрии (рис). В сечении мы получим криволинейную трапецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции Двойной интеграл в механике и геометрии, рассматриваемой как функция одной переменной у, причем у изменяется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =const (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соответственно равны Двойной интеграл в механике и геометрии и Двойной интеграл в механике и геометрии.


Следовательно, интеграл


Двойной интеграл в механике и геометрии


дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):


Двойной интеграл в механике и геометрии


Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интегралу от S(x) в интервале изменения Двойной интеграл в механике и геометрии.( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая Двойной интеграл в механике и геометрии. Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.


Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим


Двойной интеграл в механике и геометрии


или в более удобной форме


Двойной интеграл в механике и геометрии (А)


Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.


Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const Двойной интеграл в механике и геометрии, мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна Двойной интеграл в механике и геометрии, где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла


Двойной интеграл в механике и геометрии (Б)


Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.


.Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части формул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегралами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - приведением двойного интеграла к повторному.


Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобретают особенно простой вид, когда область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внешнего, но и внутреннего интегралов:


Двойной интеграл в механике и геометрии


В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.


Поясним на примерах, как производится расстановка пределов интегрирования.

а) Примеры.


 


1) Приведем к повторному двойной интеграл Двойной интеграл в механике и геометрииесли область D- треугольник,


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис. 6. Рис. 7.


ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сначала по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому


Двойной интеграл в механике и геометрии


Меняя порядок интегрирования, получим


Двойной интеграл в механике и геометрии

 


2) Приведем к повторному интеграл Двойной интеграл в механике и геометрииесли область D ограничена линиями у=0, у=х2 и х+у=2.


Область D, а также координаты крайних ее точек показаны на рис. 158. Вид области указывает на то, что удобнее интегрировать сначала по x, а потом по y:


Двойной интеграл в механике и геометрии


Если изменим порядок интегрирования, то результат уже не удастся записать в виде одного повторного интеграла, так как линия OBA имеет на разных участках разные уравнения.


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис.8


Разбивая область D на две : OBC и CBA, получим


Двойной интеграл в механике и геометрии

Двойной интеграл в механике и геометрии


Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования.

Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А) применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области, изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11) двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному, пользуясь формулами (А) и (Б).


Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.


Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции


Двойной интеграл в механике и геометрии


по прямоугольной области D Двойной интеграл в механике и геометрии


Двойной интеграл в механике и геометрии


Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы


Двойной интеграл в механике и геометрии


(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый плоскостью Двойной интеграл в механике и геометрии.


Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:


Двойной интеграл в механике и геометрии


То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:


Двойной интеграл в механике и геометрии

 


2) Вычислим двойной интеграл


Двойной интеграл в механике и геометрии


по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D

Двойной интеграл в механике и геометрии


изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,


получаем


Двойной интеграл в механике и геометрии


Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :


Двойной интеграл в механике и геометрии



Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями Двойной интеграл в механике и геометрии и плоскостью z=0 (рис.14,а).


Двойной интеграл в механике и геометрии


Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y2. Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы Двойной интеграл в механике и геометрии с линией пересечения цилиндра z=4-y2 и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :


Двойной интеграл в механике и геометрии

Следовательно, Двойной интеграл в механике и геометрии куб.ед.

4) Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью Двойной интеграл в механике и геометриии плоскостью Oxy.


Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического


Двойной интеграл в механике и геометрии

параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид пересекается с плоскостью Оху по эллипсу


Двойной интеграл в механике и геометрии


Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом Двойной интеграл в механике и геометрии


В силу симметрии тела относительно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями Двойной интеграл в механике и геометриит. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим


Двойной интеграл в механике и геометрии


Подстановка Двойной интеграл в механике и геометрии даёт


Двойной интеграл в механике и геометрии


откуда Двойной интеграл в механике и геометрии

 


3.Приложения двойных интегралов к задачам


механики.

а) Масса плоской пластинки переменной плотности.

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.


Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.


Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:


Двойной интеграл в механике и геометрии

 


Двойной интеграл в механике и геометрии

Если бы плотность была постоянной (Двойной интеграл в механике и геометрии), то масса всей пластинки равнялась бы Двойной интеграл в механике и геометрии, где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией Двойной интеграл в механике и геометрии. Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на частичные области Двойной интеграл в механике и геометрии с площадями Двойной интеграл в механике и геометрии (рис. 16). Выбирая в каждой частичной области произвольную точку Двойной интеграл в механике и геометрии, будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности Двойной интеграл в механике и геометрии в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интегральной суммы


Двойной интеграл в механике и геометрии (*)


Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии Двойной интеграл в механике и геометриии каждая частичная область стягивается к точке. Тогда


Двойной интеграл в механике и геометрии

б) Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках Двойной интеграл в механике и геометриимассы соответствующих частичных областей и найдем статические моменты полученной системы материальных точек :


Двойной интеграл в механике и геометрии

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим


Двойной интеграл в механике и геометрии


Находим координаты центра тяжести :


Двойной интеграл в механике и геометрииДвойной интеграл в механике и геометрии


Если пластинка однородна, т.е. Двойной интеграл в механике и геометрии то формулы упрощаются :


Двойной интеграл в механике и геометрии где S - площадь пластинки.


 


в) Моменты инерции пластинки.



Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.


Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что Двойной интеграл в механике и геометрии:


Двойной интеграл в механике и геометрии


Отметим еще, что интеграл Двойной интеграл в механике и геометрии называется центробежным моментом инерции; он обозначается Двойной интеграл в механике и геометрии.


В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен


Двойной интеграл в механике и геометрии

 


4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.



а) Объём.



Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью Двойной интеграл в механике и геометрии, где Двойной интеграл в механике и геометрии- неотрицательная функция, плоскостью Двойной интеграл в механике и геометрии и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции Двойной интеграл в механике и геометрии по области D :


Двойной интеграл в механике и геометрии


Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).


Двойной интеграл в механике и геометрии Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис.17 Рис.18


Решение. Двойной интеграл в механике и геометрии D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем: Двойной интеграл в механике и геометрии


Итак, Двойной интеграл в механике и геометрии куб. единиц.


Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью Двойной интеграл в механике и геометрии а снизу—поверхностью Двойной интеграл в механике и геометрии, причем проекцией обеих поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух “цилиндрических” тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним - поверхность Двойной интеграл в механике и геометрии второе тело имеет нижним основанием также область D, а верхним - поверхность Двойной интеграл в механике и геометрии (рис.18).


Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :


Двойной интеграл в механике и геометрии


или


Двойной интеграл в механике и геометрии (1)


Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда Двойной интеграл в механике и геометрии и Двойной интеграл в механике и геометрии неотрицательны, но и тогда, когда Двойной интеграл в механике и геометрии и Двойной интеграл в механике и геометрии- любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению


Двойной интеграл в механике и геометрии


Замечание 2. Если в области D функция Двойной интеграл в механике и геометриименяет знак, то разбиваем область на две части: 1) область D1 где Двойной интеграл в механике и геометрии 2) область D2 ,где Двойной интеграл в механике и геометрии. Предположим, что области D1 и D2 таковы, что двойные интегралы по этим областям существуют. Тогда интеграл по области D1 будет положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по D2 будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D будет выражать разность соответствующих объемов.

б) Вычисление площади плоской области.

Если мы составим интегральную сумму для функции Двойной интеграл в механике и геометрии по области D, то эта сумма будет равна площади S,


Двойной интеграл в механике и геометрии


при любом способе разбиения. Переходя к пределу в правой части равенства, получим


Двойной интеграл в механике и геометрии


Если область D правильная , то площадь выразится двукратным интегралом

Двойной интеграл в механике и геометрии

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением Двойной интеграл в механике и геометрии где функция Двойной интеграл в механике и геометрии непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.


Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок Двойной интеграл в механике и геометрииВ каждой площадке Двойной интеграл в механике и геометрии возьмём точку Двойной интеграл в механике и геометрии Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка Двойной интеграл в механике и геометрии Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид


Двойной интеграл в механике и геометрии (1)


На этой плоскости выделим такую площадку Двойной интеграл в механике и геометрии, которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки Двойной интеграл в механике и геометрии. Рассмотрим сумму всех площадок Двойной интеграл в механике и геометрии


Предел Двойной интеграл в механике и геометрии этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок Двойной интеграл в механике и геометрии- стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е. по определению положим


Двойной интеграл в механике и геометрии (2)


Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через Двойной интеграл в механике и геометрии угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.


Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис.20 Рис.21


На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)


Двойной интеграл в механике и геометрии


или


Двойной интеграл в механике и геометрии (3)


Угол Двойной интеграл в механике и геометрии есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем


Двойной интеграл в механике и геометрии Следовательно,


Двойной интеграл в механике и геометрии


Подставляя это выражение в формулу (2), получим


Двойной интеграл в механике и геометрии


Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл Двойной интеграл в механике и геометрии то окончательно получаем


Двойной интеграл в механике и геометрии (4)


Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности Двойной интеграл в механике и геометрии


Если уравнение поверхности дано в виде Двойной интеграл в механике и геометрии или в виде Двойной интеграл в механике и геометрии то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид


Двойной интеграл в механике и геометрии (3’)

Двойной интеграл в механике и геометрии (3’’)


где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.

а) Примеры.

Пример 1. Вычислить поверхность Двойной интеграл в механике и геометрии сферы


Двойной интеграл в механике и геометрии


Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы Двойной интеграл в механике и геометрии (рис.22). В этом случае


Двойной интеграл в механике и геометрии


Следовательно, подынтегральная функция примет вид


Двойной интеграл в механике и геометрии


Область интегрирования определяется условием Двойной интеграл в механике и геометрии. Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь


Двойной интеграл в механике и геометрии


Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением Двойной интеграл в механике и геометрии Следовательно,


Двойной интеграл в механике и геометрии


Пример2. Найти площадь той части поверхности цилиндра Двойной интеграл в механике и геометрии которая вырезается цилиндром Двойной интеграл в механике и геометрии

Двойной интеграл в механике и геометрии  Двойной интеграл в механике и геометрии


Рис.22 Рис.23


Решение. На рис.23 изображена Двойной интеграл в механике и геометрии часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид Двойной интеграл в механике и геометрии; поэтому


Двойной интеграл в механике и геометрии


Двойной интеграл в механике и геометрии


Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями Двойной интеграл в механике и геометрии


Следовательно, Двойной интеграл в механике и геометрии

 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


Список использованной литературы.

 

А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович

Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1971 г.,736с.

Н.С. Пискунов

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2:


Учебное пособие для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-560с.


В.С. Шипачёв

Высшая математика: Учебное пособие для втузов: - М: Наука,


Главная редакция физико-математической литературы.

 


 


 


 


 


Скачиваний: 0
Просмотров: 0
Скачать реферат Заказать реферат